O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

5.4.1-tasdiq. Aytaylik, R kommutativ halqa, I esa uning nilpotent elementlaridan tashkil topgan qism to‘plami bo‘lsin. U holda I nil ideal bo‘lib, R/I faktor halqa noldan farqli nilpotent elementga ega emas.

∈
Isbot. Tasdiqning birinchi qismini, ya’ni I nil ideal ekanligini yuqorida keltirib o‘tdik. Shuning uchun tasdiqning ikkinchi qismini isbotlaymiz. Faraz qilaylik, a + I element R/I faktor halqaning nilpotent elementi bo‘lsin. U holda qandaydir n natural soni uchun (a + I)ⁿ = I tenglik o‘rinli bo‘ladi. Ikkinchi tomondan esa (a + I)ⁿ = aⁿ + I bo‘lganligi uchun aⁿ + I = I, ya’ni aⁿ I ekanligini hosil qilamiz. Bu esa, aⁿ elementning ham nilpotent element ekanligini bildiradi. Demak, shunday m natural soni uchun (aⁿ)^m = 0, ya’ni a^nm = 0. Bundan biz a elementning nilpotent ekanligini, ya’ni a ∈ I bo‘lishini hosil qilamiz. Demak, a + I = I, bu esa R/I faktor halqaning nol elementi. Shunday qilib, biz R/I faktor halqa noldan farqli nilpotent elementga ega emasligini ko‘rsatdik.

1. Tub va keltirilmas elementlar

Ushbu bo‘limda birlik elementga ega bo‘lgan kommutativ halqaning tub va kelti- rilmas elementlari tushunchalarini kiritib, ularning xossalarini keltiramiz.
Aytaylik, R birlik elementga ega bo‘lgan kommutativ halqa bo‘lsin.


5.4.2-ta’rif. Agar birlik elementga ega bo‘lgan kommutativ R halqaning noldan farqli va teskarilanmaydigan p ∈ R elementi uchun p | ab ekanligidan p | a yoki p | b ekanligi kelib chiqsa, u holda ushbu element tub element deb ataladi.