5.1.15-misol. M2(R) halqa regulyar halqa ekanligini ko‘rsating.
Yechish. Misolni yechish uchun ixtiyoriy A = a b
c d
elementning regulyar
ekanligini ko‘rsatamiz. Quyidagi hollarni qaraymiz.
det(A) /= 0 bo‘lsin, u holda A matritsa teskarilanuvchi bo‘lib, B = A−1
element uchun A = ABA bo‘ladi.
a
u holda d =
bc bo‘lib, B =
1
a
0
matritsa uchun
det(A) = 0 bo‘lsin. Agar A = 0, ya’ni a = b = c = d = 0 bo‘lsa, u holda ixtiyoriy B ∈ M2(R) matrit sa uchu n A = ABA bo‘ladi. Agar a /= 0 bo‘lsa,
ABA =
0 0
a
a b 1
c d
0 a b
= a b .
0 0 c d c d
Demak, A matritsa regulyar element bo‘ladi.
Xuddi shunga o‘xshab, b 0, c 0 va d /= 0 bo‘lgan hollarda ham A
matritsaning regulyar element ekanligini ko‘rsatish mumkin. Ya’ni, M2(R) regulyar halqa. Q
Mustaqil ishlash uchun misol va masalalar
Quyidagi sonlar to‘plamining qaysilari qo‘shish va ko‘paytirish amallariga nisbatan halqa tashkil qilishini aniqlang:
nZ, ya’ni natural n soniga karrali bo‘lgan butun sonlar to‘plami.
maxraji fiksirlangan tub sonning darajalaridan iborat bo‘lgan ratsional sonlar to‘plami.
x + √2y ko‘rinishidagi haqiqiy sonlar to‘plami, bu yerda x, y ∈ Q.
x + √3 2y ko‘rinishidagi haqiqiy sonlar to‘plami, bu yerda x, y ∈ Q.
x+√3 2y+√3 4z ko‘rinishidagi haqiqiy sonlar to‘plami, bu yerda x, y, z ∈ Q.
Quyidagi to‘plamlarni halqa tashkil qilishini aniqlang, bu yerda i2 = −1 :
Z[√n] = {x + y√n | x, y ∈ Z}.
Z[i] = {x + iy | x, y ∈ Z}.
Q[i] = {x + iy | x, y ∈ Q}.
Z[i√n] = {x + iy√n | x, y ∈ Z}.
Q[i√n] = {x + iy√n | x, y ∈ Q}.
Quyidagi matritsalar to‘plamining qaysilari matritsalarni qo‘shish va ko‘paytirish amallariga nisbatan halqa tashkil qilishini aniqlang:
elementlari haqiqiy sonlardan iborat bo‘lgan simmetrik matritsalar to‘plami;
elementlari haqiqiy sonlardan iborat bo‘lgan kososimmetrik matritsalar to‘plami;
•
elementlari haqiqiy sonlardan iborat bo‘lgan yuqori uchburchak ko‘rinishidagi matritsalar to‘plami;
a b
•
2b a
ko‘rinishidagi matritsalar to‘plami bu yerda a, b ∈ Z;
z w
−w z
ko‘rinishidagi matritsalar to‘plami bu yerda z, w ∈ C.
Dostları ilə paylaş: |
