O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

5.1.1-natija. Ixtiyoriy chekli butunlik sohasi maydon bo‘ladi.
5.1.2-natija. Z_n halqa maydon bo‘lishi uchun n tub son bo‘lishi zarur va yetarli.

1. Nilpotent va idempotent elementlar

R halqaning ixtiyoriy a ∈ R elementi va n butun son uchun na elementni quyidagicha aniqlaymiz:

` ˛¸ x
0a = 0, na = a + a + · · · + a, n > 0, na = (−n)(−a), n < 0.

n ta
Halqaning ixtiyoriy a, b ∈ R elementlari va ixtiyoriy m, n butun sonlar uchun quyidagi xossalar o‘rinli ekanligi osongina kelib chiqadi:
(m + n)a = ma + na, m(a + b) = ma + mb,
(mn)a = m(na), m(ab) = (ma)b = a(mb), (ma)(nb) = mn(ab).


5.1.7-ta’rif. Agar shunday n natural soni mavjud bo‘lib, ixtiyoriy a element uchun na = 0 tenglik o‘rinli bo‘lsa, u holda bu shartni qanoatlantiruvchi eng kichik na- tural songa, halqaning xarakteristikasi deb ataladi. Agar bunday natural son mavjud bo‘lmasa, u holda halqaning xarakteristikasi nolga teng deyiladi.
Masalan, Z, Q, R, C halqalar xarakteristikasi nolga teng bo‘lgan halqalar bo‘lsa, Z_n halqa esa, xarakteristikasi n ga teng bo‘lgan halqadir. Quyidagi misolda xarakteristikasi 2 ga teng bo‘lgan halqaga misol keltiramiz.
5.1.10-misol. Ixtiyoriy bo‘sh bo‘lmagan X to‘plamning qism to‘plamlaridan tu- zilgan P (X) to‘plamlar oilasini qaraymiz. Ma’lumki, P (X) to‘plam simmetrik ayirma amaliga nisbatan kommutativ gruppa tashkil qiladi. Agar (P (X), Δ, ∩) uchlikni qarasak, u holda bu uchlik halqa tashkil qiladi, ya’ni P (X) to‘plam sim- metrik ayirma va kesishma amallariga nisbatan halqa tashkil qiladi. Bu halqa kom- mutativ, birlik elementga ega halqa bo‘lib, birlik element vazifasini bo‘sh to‘plam bajaradi, ya’ni e = ∅. Ushbu halqaning xarakteristikasi 2 ga teng, chunki
2A = A Δ A = (A \ A) ∪ (A \ A) = ∅.
Quyidagi teoremada butunlik sohasining xarakteristikasi qanday songa teng bo‘lishi mumkinligi haqida ma’lumot beramiz.