5.1.3-ta’rif. Agar biri bor halqaning ixtiyoriy noldan farqli elementi teskarilanuv- chi bo‘lsa, u holda u jism deyiladi. Kommutativ jismga maydon deb ataladi.
Ta’kidlash joizki, (R, +, ·) halqa jism bo‘lishi uchun (R \{0}, ·) algebraik siste- maning gruppa bo‘lishi zarur va yetarli. O‘z navbatida R halqa maydon bo‘lishi uchun esa (R \ {0}, ·) algebraik sistemaning kommutativ gruppa bo‘lishi zarur va yetarli.
5.1.7-misol. 1) Butun sonlar halqasi (Z, +, ·) maydon tashkil qilmaydi, chunki uning 1 va -1 dan boshqa elementlari teskarilanuvchi emas.
2) Ratsional, haqiqiy va kompleks sonlar to‘plami (Q, +, ·), (R, +, ·), (C, +, ·)
maydon bo‘ladi.
Endi halqalarda yana bir muhim tushuncha bo‘lgan nolning bo‘luvchisi tushun- chasini kiritamiz.
5.1.4-ta’rif. Halqaning noldan farqli a ∈ R elementi uchun, shunday noldan farqi b ∈ R element topilib, ab = 0 yoki ba = 0 bo‘lsa, u holda a element nolning bo‘luvchisi deb ataladi.
Ta’kidlash joizki, jismda xususan maydonda, nolning bo‘luvchisi mavjud emas. Chunki, ab = 0 bo‘lsa, u holda b = (a−1a)b = a−1(ab) = a−10 = 0 tenglikdan b = 0 ekanligi kelib chiqadi.
5.1.5-ta’rif. Nolning bo‘luvchisiga ega bo‘lmagan kommutativ biri bor halqaga bu- tunlik sohasi deyiladi.
5.1.8-misol. Butun sonlar halqasi (Z, +, ·) butunlik sohasi bo‘ladi. Juft sonlar to‘plami (2Z, +, ·) esa birlik elementga ega bo‘lmagan kommutativ halqa bo‘lib, nolning bo‘luvchilari mavjud emas.
birgalikda, nolning bo‘luvchilariga ega. Xususan, ritsalar nolning bo‘luvchilari bo‘ladi, chunki
1 0 va 0 1
5.1.9-misol. Matritsalar halqasi (M2(R), +, ·) noko mmutat iv halq a bo‘lis h bilan
0 0 0 0
mat-
0 0
0 0
0 0
1 0 · 0 1 = 0 0 .
Quyidagi teoremada nolning bo‘luvchilari bilan halqadagi qisqartirish qoidasi orasidagi bog‘lanishni keltiramiz.
Dostları ilə paylaş: |
