O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

5.1.2-ta’rif. R halqaning barcha a, b ∈ R elementlari uchun ab = ba tenglik o‘rinli bo‘lsa, u holda R halqa kommutativ halqa deyiladi. Kommutativ bo‘lmagan halqalarga esa nokommutativ halqa deb ataladi.
Agar R halqada ko‘paytirish amaliga nisbatan birlik element mavjud bo‘lsa, ya’ni shunday e ∈ R element topilib, ixtiyoriy a ∈ R uchun ea = a = ae teng- lik o‘rinli bo‘lsa, u holda ushbu e elementga halqaning birlik elementi deyiladi. Gruppalar nazariyasidan ma’lumki, ixtiyoriy algebraik sistemaning birlik elementi yagona bo‘ladi. Demak, halqaning birlik elementi ham yagona bo‘lib, biz uni 1 orqali belgilaymiz. Birlik elementga ega bo‘lgan halqa biri bor halqa deb ataladi.
5.1.2-misol. (Z, +, ·), (Q, +, ·) (R, +, ·) va (C, +, ·) halqalar biri bor kommutativ halqalarga misol bo‘ladi.
5.1.3-misol. (2Z, +, ·) juft sonlar to‘plami birlik elementga ega bo‘lmagan halqa bo‘ladi.
5.1.4-misol. Agar R kommutativ halqa bo‘lsa, u holda R ustida aniqlangan bir o‘zgaruvchili ko‘phadlar to‘plami R[x], ko‘phadlarni qo‘shish va ko‘paytirish amal- lari bilan birgalikda kommutativ halqa bo‘ladi. Xususan, (Z[x], +, ·), (Q[x], +, ·), (R[x], +, ·) va (C[x], +, ·) halqalar kommutativ bo‘ladi.
5.1.5-misol. Chegirmalar sinfi Z_n = {0, 1, . . . , n} to‘plam unda aniqlangan qo‘shish va ko‘paytirish amallari bilan birgalikda halqa tashkil qiladi. (Z_n, +_n, ·_n) halqa chegirmalar halqasi deb ataladi.
Yuqorida biz faqat kommutativ halqalarga misollar keltirdik. Quyidagi misol- da esa nokommutativ halqaga misol keltiramiz.


5.1.6-misol. Elementlari biror R halqadan olingan n-tartibli kvadrat matritsalar to‘plami M_n(R) matritsalarni qo‘shish va ko‘paytirish amallariga nisbatan halqa tashkil qiladi. Matritsalarni ko‘paytirish amali uchun kommutativlik o‘rinli bo‘lmaganligi sababli (M_n(R), +, ·) nokommutativ halqa bo‘ladi.
Yuqoridagi misoldan ko‘rinadiki, M_n(Z), M_n(Q), M_n(R) va M_n(C) halqalar, ya’ni elementlari mos ravishda butun, ratsional, haqiqiy va kompleks sonlar- dan iborat bo‘lgan n-tartibli kvadrat matritsalar to‘plami nokommutativ halqa bo‘ladi. Ushbu matritsalar to‘plamlarida birlik matritsa yotganligini hisobga ol- sak, ular birlik elementga ega bo‘lgan halqalar bo‘ladi. M_n(2Z) to‘plam, ya’ni elementlari juft sonlardan iborat matritsalar to‘plami esa birlik elementga ega bo‘lmagan nokommutativ halqa bo‘ladi.
Endi halqaning ayrim elementar xossalarini keltiramiz.