5.1.1-teorema. R halqa va ixtiyoriy a, b ∈ R elementlar uchun quyidagi tengliklar o‘rinli:
1) a0 = 0a = 0.
2) a(−b) = (−a)b = −(ab).
Isbot. 1) aa + a0 = a(a + 0) = aa tenglikdan a0 elementning qo‘shishga nisbatan neytral element ekanligi kelib chiqadi, demak, a0 = 0. Xuddi shunga o‘xshab 0a = 0 tenglikni hosil qilish mumkin.
0 = a(b − b) = ab + a(−b) tenglikdan a(−b) = −(ab) ekanligi kelib chiqadi.
Xuddi shunga o‘xshab (−a)b = −(ab) tenglik ham osongina ko‘rsatiladi.
Ta’kidlash joizki, agar R biri bor halqa bo‘lib, R /= {0} bo‘lsa, u holda uning 0 va 1 elementlari har xil bo‘ladi. Haqiqatdan ham, agar 1 = 0 bo‘lsa, u holda ixtiyoriy a ∈ R element uchun a = a1 = a0 = 0. Bu esa R /= {0} ekanligiga zid.
Aytaylik, R biri bor halqa bo‘lsin. Agar u ∈ R element uchun shunday v ∈ R
element topilib, uv = vu = 1 shart bajarilsa, u holda u element teskarilanuvchi deyiladi, v element esa u elementning teskarisi deb ataladi va u−1 kabi belgilanadi.
5.1.2-teorema. R biri bor halqaning barcha teskarilanuvchi elementlaridan tuzil- gan T to‘plam uchun quyidagilar o‘rinli:
1) T /= ∅.
2) 0 ∈/ T. ∀a, b ∈ T uchun ab ∈ T.
Isbot. 1) 1 · 1 = 1 = 1 · 1 bo‘lganligi uchun 1 ∈ T , demak T /= ∅. Ixtiyoriy v ∈ R element uchun 0v = 0 ekanligi va 0 /= 1 bo‘lganligi uchun 0 ∈/ T bo‘ladi.
Aytaylik, a, b ∈ T bo‘lsin, u holda c, d ∈ R elementlar topilib, ac = ca = 1 va bd = db = 1. Ushbu
(ab)(dc) = a(bd)c = ac = 1, (dc)(ab) = d(ca)b = db = 1
tengliklardan esa ab elementning teskarilanuvchi ekanligi kelib chiqadi, ya’ni
ab ∈ T .
Yuqoridagi teoremadan kelib chiqadiki, biri bor halqaning barcha teskarilanuv- chi elementlaridan tashkil topgan to‘plam ko‘paytirish amaliga nisbatan gruppa tashkil qiladi.
