O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

5.1.4-teorema. Elementlari kamida ikkita bo‘lgan, nolning bo‘luvchisiga ega bo‘lmagan chekli kommutativ halqa maydon bo‘ladi.



Isbot. Aytaylik, R nolning bo‘luvchisiga ega bo‘lmagan kommutativ halqa bo‘lib, elementlari n ta bo‘lsin, u holda R = {a₁, a₂, . . . , a_n}. Biz ushbu halqaning maydon bo‘lishini ko‘rsatishimiz uchun, uning birlik elementga ega ekanligini va ixtiyoriy noldan farqli elementi teskarilanuvchiligini ko‘rsatishimiz kerak. Ixtiyoriy a ∈ R element uchun
aa₁, aa₂, . . . , aa_n
elementlarni qaraymiz. Ma’lumki, ushbu elementlar turli xil bo‘ladi, chunki agar aa_i = aa_j bo‘lsa, u holda 5.1.3-teoremaga ko‘ra ushbu halqada qisqar- tirish qoidasi o‘rinli bo‘lib, bundan a_i = a_j ekanligi kelib chiqadi. Demak, R = {aa₁, aa₂, . . . , aa_n}. U holda bu elementlar ichida a ga teng bo‘lgani mavjud, ya’ni qandaydir k uchun aa_k = a. R halqaning kommutativligini hisobga olsak, a_ka = aa_k = a kelib chiqadi. Endi ushbu a_k elementning birlik element ekanligini ko‘rsatamiz. Ixtiyoriy b ∈ R element olsak, bu elementni b = aa_j ko‘rinishida yozish mumkin. U holda
ba_k = a_kb = a_k(aa_j) = (a_ka)a_j = aa_j = b
ekanligidan a_k elementning birlik elementligi kelib chiqadi.
Endi ixtiyoriy a elementning teskarilanuvchi ekanligini ko‘rsatamiz. Ushbu a_k birlik element ham R da yotganligi uchun a_k ∈ {aa₁, aa₂, . . . , aa_n}. Bu esa qandaydir s uchun aa_s = a_k ekanligini bildiradi. R halqa kommutativ bo‘lganligi uchun a_sa = aa_s = a_k. Demak, a element teskarilanuvchi. Bundan esa, R halqa- ning barcha elementlari teskarilanuvchi ekanligi kelib chiqadi. Shunday qilib, biz R halqaning maydon ekanligini ko‘rsatdik.
Yuqoridagi teoremadan ushbu natijalarni olishimiz mumkin.