1-Mavzu. Algebraik amal. Binar algebraik amallarni turlari. Reja

1-Mavzu. Algebraik amal. Binar algebraik amallarni turlari.
Reja:

1. 
   Algebraik amal tushunchasi.
   
2. 
   Binar algebraik amalning turlari
   
3. 
   Neytral va simmetrik elementlar.
   

Kirish. Tŏplam va uning ustida aniqlangan algebraik amallar hozirgi zamon algebrasining asosiy tushunchalari deb hisoblanadilar. Shuning uchun algebraik amallarni ŏrganish va ularni xossalarini aniqlash masalalari dolzarb hisoblanadi. Ushbu ma’ruzadagi tŏplamlar sifatida bŏshmas tŏplamlar qaraladi.

Asosiy qism.
Algebraik amal tushunchasi.

Ta’rif. X tŏplam berilgan bŏlsin. f : Xⁿ  X funktsiyaga X dagi algebraik amal deyiladi.
Ŏzgaruvchilar soniga qarab algebraik amal bir ŏrinli yoki unar (bitta ŏzgaruvchi qatnashsa), ikki ŏrinli yoki binar (ikkita ŏzgaruvchi qatnashsa), uch ŏrinli yoki ternar (uch ŏzgaruvchi qatnashsa), va umumiy holda n - ŏrinli yoki n-ar (n-ta ŏzga-ruvchi qatnashsa) deyiladi.
Nol’ ŏrinli yoki nular algebraik amal sifatida X tŏplamning istalgan elementini alohida olish amali tushuniladi.
Binar algebraik amalning turlari . Algebra fanida kŏpincha binar amallar qaraladi, shuning uchun ushbu hol jiddiyroq tahlil qilinishi lozim.
Ushbu holda x = (x , u )  X ² uchun f(x , u ) belgilash ŏrniga x f u belgilash qabul qilingan (f belgini ŏrniga ixtiyoriy maxsus belgi ishlatilishi mumkin, masalan ,, , , ,, ,,,, , , , ).
Misollar.
a) xaqiqiy sonlar tŏplamida qŏshish “” amali, kŏpaytirish “” amali, ayirish “” amali;
b) f : X  X , g : X  X funktsiyalar uchun h(x)=g( f(x)) xX tenglik bilan aniqlan-gan g f : X  X kompozitsiyani mos qŏyadigan akslantirish;
v) Mulohazalar algebrasida aniqlangan  va  amallar;
g) Barcha tŏplamlar orasida aniqlangan  va  amallar
binar algebraik amallarga misol sifatida qaralishi mumkin.
Bitta tŏplamning ŏzida bir nechta algebraik amallar aniqlangan bŏlishi mumkin.
Faraz qilaylik, X tŏplamda  binar amal berilgan bŏlsin.
Ta’rif.  binar algebraik amal kommutativ deyiladi, agar ixtiyoriy x X va u X uchun x  u = u  x tenglik bajarilsa.

Masalan, xaqiqiy sonlar tŏplamida qŏshish va kŏpaytirish amallari kommu-tativ bŏladi, ayirish amali esa nokommutativ amaldir.

Ta’rif.  binar algebraik amal assotsiativ deyiladi, agar ixtiyoriy x,y,z X uchun x  (u  z) = ( x  u )  z tenglik bajarilsa.

Masalan, xaqiqiy sonlar tŏplamida qŏshish va kŏpaytirish amallari assotsiativ bŏladi, ayirish amali esa noassotsiativ amal bŏladi.

Faraz qilaylik, X tŏplamda ikkita ,  binar amallar berilgan bŏlsin.

Ta’rif.  amal  amalga nisbatan distributiv deyiladi, agar ixtiyoriy x,y,z X uchun x  (u  z) = ( x  u )  (x  z) , (u  z) x = ( u  x )  (z  x) tenglik-lar bajarilsa.
Masalan, xaqiqiy sonlar tŏplamida kŏpaytirish amali qŏshish amaliga nisbatan distributiv bŏladi.