O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti
Yüklə 0,92 Mb.
|
|
4.4.7-teorema. G gruppa nilpotent bo‘lishi uchun G[n] = {e} shartni qanoat- lantiruvchi n natural son topilishi zarur va yetarli.
Isbot. Aytaylik, qandaydir natural n soni uchun G[n] = {e} bo‘lsin. U holda {e} = G[n] ⊆ G[n−1] ⊆ · · · ⊆ G[2] ⊆ G[1] = G qator markaziy qator bo‘lib, G gruppaning nilpotent ekanligi kelib chiqadi. Endi buning aksini, ya’ni agar G gruppa nilpotent bo‘lsa, u holda G[m] = {e} shartni qanoatlantiruvchi m natural soni mavjudligini ko‘rsatamiz. Gruppa nilpotent bo‘lganligi uchun {e} = G0 ⊆ G1 ⊆ G2 ⊆ · · · ⊆ Gn = G markaziy qator mavjud. U holda Gi+1/Gi ⊆ Z(G/Gi) bo‘lib, ∀gi+1 ∈ Gi+1 va g ∈ G uchun gi+1Gi · gGi = gGi · gi+1Gi bo‘ladi. Bundan esa, gi+1gGi = ggi+1Gi ekanligi, ya’ni g−1 g−1gi+1gGi = Gi bo‘lishi kelib chiqadi. Bu esa, g−1 g−1gi+1g ∈ i+1 Gi ekanligini, ya’ni [Gi+1, G] ⊆ Gi bo‘lishini anglatadi. i+1 Biz endi G[i] ⊆ Gn−i+1, 1 ≤ i ≤ n + 1 ekanligini ko‘rsatamiz. Buning uchun i ga nisbatan induksiya metodidan foydalanamiz. G[1] = G = Gn ekanligidan ushbu munosabatning i = 1 da o‘rinli ekanligi kelib chiqadi. Faraz qilaylik, G[j] ⊆ Gn−j+1 munosabat o‘rinli bo‘lsin. U holda G[j+1] = [G[j], G] ⊆ [Gn−j+1, G] ⊆ Gn−j. Demak, G[i] ⊆ Gn−i+1 munosabat i = 1, 2, . . . , n + 1 lar uchun o‘rinli. Demak, G[n+1] ⊆ G0 = {e} bo‘ladi. Yuqoridagi teoremadan foydalanib, nilpotent gruppaning ixtiyoriy qism grup- pasi ham nilpotent bo‘lishini ko‘rsatish qiyin emas. Chunki, agar G gruppa nilpo- tent bo‘lsa, u holda qandaydir n soni uchun G[n] = {e} bo‘ladi. Gruppaning ixtiyoriy H qism gruppasi uchun H[i] ⊆ G[i] ekanligidan H[n] = {e} bo‘lishi, ya’ni qism gruppaning ham nilpotentligi kelib chiqadi. Endi gruppa uchun yuqori markaziy qator tushunchasini kiritamiz. Beril- gan G gruppa uchun Z0(G) = {e} va Z1(G) = Z(G) kabi belgilashlarni kirita- miz. Z1(G) qism gruppa G da normal bo‘lganligi uchun G/Z1(G) faktor grup- pani qarash mumkin, hamda Z(G/Z1(G)) ham o‘z navbatida faktor gruppa- ning normal qism gruppasi bo‘ladi. U holda G gruppaning Z1(G) ⊆ Z2(G) va Z2(G)/Z1(G) = Z(G/Z1(G)) shartlarni qanoatlantiruvchi yagona Z2(G) normal qism gruppasi mavjud. Ushbu jarayonni davom ettirgan holda, Zi(G) ⊆ Zi+1(G) va Zi+1(G)/Zi(G) = Z(G/Zi(G)) shartlarni qanoatlantiruvchi {e} = Z0(G) ⊆ Z1(G) ⊆ Z2(G) ⊆ · · · ⊆ Zn(G) ⊆ . . . qatorni hosil qilamiz. Ushbu Zi(G) qism gruppalar G da normal bo‘lganligi uchun, biz hosil qilgan qator normal qator bo‘ladi. Ushbu qatorga G gruppaning yuqori markaziy qatori deb ataladi. Ta’kidlash joizki, agar G gruppada qandaydir n natural son uchun Zn(G) = G tenglik o‘rinli bo‘lsa, biz hosil qilgan {e} = Z0(G) ⊆ Z1(G) ⊆ Z2(G) ⊆ · · · ⊆ Zn(G) = G qator markaziy qator bo‘ladi, chunki Zi+1(G)/Zi(G) = Z(G/Zi(G)). Demak, agar Zn(G) = G bo‘lsa, u holda G nilpotent bo‘ladi. Quyidagi teore- mada esa, ushbu munosabatning teskarisi ham o‘rinli ekanligini isbotlaymiz. Yüklə 0,92 Mb. Dostları ilə paylaş:
|