O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

4.3.7-misol. Tartibi 255 ga teng bo‘lgan gruppaning siklik ekanligini isbotlang.
Yechish. 255 = 3 · 5 · 17 bo‘lganligi uchun, uning Silov 17, 5 va 3-qism gruppalari mavjud. Ularning sonini mos ravishda n₁₇, n₅ va n₃ kabi belgilasak, n₁₇ = 1 + 17m va n₁₇ | 15 ekanligidan n₁₇ = 1 bo‘lishi kelib chiqadi. Demak, grup- paning Silov 17-qism gruppasi normal bo‘ladi. Gruppaning Silov 5-qism grup- palari soni uchun n₅ = 1 + 5k va n₅ | 51 bo‘lib, bundan n₅ = 1 yoki n₅ = 51 ekanligi kelib chiqadi. O‘z navbatida n₃ = 1 + 3l va n₃ | 85 ekanligidan n₃ = 1 yoki n₃ = 85 hosil bo‘ladi.
Agar n₅ = 51 va n₃ = 85 bo‘lsa, u holda 51 ta Silov 5-qism gruppalarning birlashmasida tartibi 5 ga teng bo‘lgan jami 204 ta element yotadi. Xuddi shun- day, 85 ta Silov 3-qism gruppalarning birlashmasida esa tartibi 3 ga teng bo‘lgan 170 ta element mavjudligi kelib chiqadi. Bu esa gruppaning elementlari 255 ta ekanligiga zid. Demak, n₅ = 1 yoki n₃ = 1 tengliklardan hech bo‘lmaganda bittasi o‘rinli bo‘lishi shart.
Aytaylik, n₅ = 1 bo‘lsin, u holda K Silov 5-qism gruppasi ham normal bo‘lib, H∩K = {e} bo‘ladi. Bundan esa, ∀h ∈ H va ∀k ∈ K uchun hk = kh ekanligi kelib chiqadi. Avvalgi misolning 5) bandiga (4.3.6-misol) o‘xshab G/K faktor gruppani

qaragan holda H ⊆ Z(G) ekanligini hosil qilish mumkin. Bundan esa, |Z(G)| = 17, 51, 85 yoki 255 ekanligi, o‘z navbatida |G/Z(G)| = 15, 5, 3 yoki 1 bo‘lishi kelib chiqadi. Tartibi 15, 5, 3 va 1 bo‘lgan gruppalar siklik bo‘lganligi uchun G/Z(G) faktor gruppa siklik, ya’ni G kommutativ bo‘ladi. Bu esa, gruppaning Silov 3-qism gruppasi ham yagona ekanligini anglatadi, ya’ni n₃ = 1. Demak, tartibi 255 ga teng bo‘lgan gruppa tartiblari 17, 5 va 3 bo‘lgan siklik qism gruppalarning to‘g‘ri ko‘paytmasidan iborat bo‘ladi. 17, 5 va 3 sonlarining o‘zaro tub ekanligidan esa, gruppaning siklik ekanligi kelib chiqadi.

Agar n₃ = 1 deb faraz qilinsa ham, xuddi yuqoridagi mulohazalar kabi n₅ = 1 ekanligini hosil qilish mumkin. Q