O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

4.3.5-misol. GL₂(C) gruppaning quyidagi ikkita elementini olamiz:
A = ^{1 −1} , B = ^{i 0} .
1 0 i −i

shirish qiyin emas. U holda H = ⟨A, B⟩ gruppa 12 ta elementdan iborat bo‘lib, S^{^}₃
Bu elementlar uchun ord(A) = 6, ord(B) = 4 va A³ = B² ekanligini tek-

^ ^
gruppaga izomorf bo‘ladi. Ushbu S^{^}₃ gruppaning markazi Z(S^{^}₃) = {e, a³} bo‘lib,

S₃/Z(S₃) faktor gruppa S₃ ga izomorf bo‘ladi. Shuning uchun odatda ushbu gruppa
S₃ gruppaning markaziy kengaytmasi deb ataladi.



Shunday qilib, ushbu mavzuda biz kichik tartibli gruppalarning quyidagi ko‘rinishdagi tasnifini hosil qildik.

Gruppaning Gruppalar Kommutativ Nokommutativ tartibi soni gruppalar gruppalar
1 1 {e} −
2 1 Z₂ −
3 1 Z₃ −
4 2 Z₄, Z₂ × Z₂ −
5 1 Z₅ −
6 2 Z₆ S₃
7 1 Z₇ −
8 5 Z₈, Z₄ × Z₂, Z₂ × Z₂ × Z₂, D₄, Q₈
9 2 Z₉, Z₃ × Z₃ −
10 2 Z₁₀ D₅
11 1 Z₁₁ −

12 5 Z₁₂, Z₆ × Z₂ A₄, D₆,

13 1 Z₁₃ −
14 2 Z₁₄ D₇
15 1 Z₁₅ −
_S^₃

4.3.6-misol. Agar G gruppaning tartibi 231 ga teng bo‘lsa, u holda:

1. 
   
   Gruppaning Silov 11-qism gruppasi normal ekanligini isbotlang.
   
2. 
   
   Gruppaning Silov 7-qism gruppasi normal ekanligini isbotlang.
   
3. 
   
   Gruppaning tartibi 77 ga teng bo‘lgan siklik qism gruppasi mavjud ekanligini isbotlang.
   
4. 
   
   Gruppaning H, G va L qism gruppalari mos ravishda uning Silov 11, 7 va
   

3. 
   
   qism gruppalari bo‘lsa, G = HKL ekanligini isbotlang.
   

5. 
   
   H ⊆ Z(G) ekanligini ko‘rsating.
   

Yechish. 1) 231 = 11 · 7 · 3 ekanligidan, uning Silov 11, 7 va 3-qism gruppalari mavjud ekanligi kelib chiqadi. Silov 11-qism gruppalari soni n₁₁ = 1 + 11k bo‘lib, (1 + 11k)|3 · 7 ekanligidan n₁₁ = 1 kelib chiqadi. Demak, gruppaning yagona Silov 11-qism gruppasi mavjud bo‘lib, u normal bo‘ladi.

2. 
   
   Silov 7-qism gruppalari soni esa n₇ = 1 + 7k bo‘lib, (1 + 11k)|3 · 11. Bundan
   

n₇ = 1 kelib chiqadi, ya’ni Silov 7-qism gruppasi ham normal bo‘ladi.

2. 
   
   Gruppaning H Silov 11-qism gruppasa va K Silov 7-qism gruppalari normal bo‘lganligi uchun HK ham normal qism gruppa bo‘lib, H ∩ K = {e} bo‘ladi, demak HK = 77. Bundan tashqari, H va K gruppalar siklik bo‘lib, (7, 11) = 1 ekanligidan HK ning siklik qism gruppa ekanligi kelib chiqadi.
   
3. 
   
   Gruppaning L Silov 3-qism gruppasi uchun L ∩ (HK) = {e} bo‘ladi, chunki
   

HK qism gruppada tartibi 3 ga teng element mavjud emas. Bundan tashqari,

| |
_{HKL =} |HK| · |L|

|L ∩ (HK)|
ekanligidan G = HKL kelib chiqadi.
₌ 77 · 3
1
= 231 = |G|

2. 
   
   HK siklik gruppa ekanligi uchun ixtiyoriy h ∈ H va k ∈ K uchun hk = kh
   

tenglik o‘rinli bo‘ladi. Endi G/K faktor gruppani qarasak, |G/K| = 33 ekan- ligidan, uning Silov 11 va 3-qism gruppalarining yagona ekanligini hosil qilamiz. Demak, G/K faktor gruppa siklik bo‘ladi. Birlik elementdan farqli a ∈ L va
h ∈ H elementlarni olsak, a, h ∈/ K bo‘lib, G/K faktor gruppaning kommuta-
tivligidan (aK)(hK) = (hK)(aK), ya’ni (ah)K = (ha)K tenglikka ega bo‘lamiz. Bundan esa, (ah)⁻¹(ha) ∈ K kelib chiqadi. H normal qism gruppa bo‘lganligi uchun a⁻¹ha ∈ H munosabatni, o‘z navbatida (ah)⁻¹(ha) ∈ H ekanligini hosil qilamiz. Demak, (ah)⁻¹(ha) ∈ H ∩ K = {e}, ya’ni h⁻¹a⁻¹ha = e, bundan esa ha = ah kelib chiqadi. Shunday qilib, biz ∀h ∈ H, ∀k ∈ K, ∀a ∈ L element- lar uchun hk = kh va ha = ah, ekanligini hosil qildik. Bundan esa H ⊆ Z(G) munosabat osongina kelib chiqadi. Q