5.4.2-tasdiq. Agar R kommutativ halqaning Q ideali primar bo‘lsa, u holda √Q
ham primar ideal bo‘ladi.
Isbot. Aytaylik, a, b ∈ R elementlar uchun ab ∈ √Q va a ∈/ √Q bo‘lsin. U
holda qandaydir n natural son uchun (ab)n ∈ Q. Bundan esa, anbn ∈ Q, lekin
an ∈/ Q ekanligi kelib chiqadi. Q id√eal primar bo‘lganligi uchun shunday m ∈ N
son topilib, (bn)m ∈ Q. Demak, b ∈ Q ya’ni Q primar ideal.
Quyidagi teoremada R kommutativ halqaning I primar idealini R/I faktor halqa bilan xarakterlovchi xossani keltiramiz.
5.4.8-teorema. R kommutativ halqaning I ideali primar bo‘lishi uchun R/I faktor halqadagi ixtiyoriy nolning bo‘luvchisi nilpotent element bo‘lishi zarur va yetarli.
Isbot. Zaruriylik. Aytaylik, I primar ideal bo‘lib, a + I element R/I faktor halqada nolning bo‘luvchisi bo‘lsin. U holda shunday b + I ∈ R/I element uchun (a + I)(b + I) = I bo‘ladi. Bundan esa, ab ∈ I kelib chiqadi. I halqaning primarligini va b ∈/ I ekanligini hisobga olsak, qandaydir n ∈ N natural son uchun an ∈ I bo‘lishini hosil qilamiz. Demak, (a +I)n = an +I = I, ya’ni a +I nilpotent. Yetarlilik. Aytaylik, R/I faktor halqadagi ixtiyoriy nolning bo‘luvchisi nilpo-
tent bo‘lib, a, b ∈ R elementlar uchun ab ∈ I va a ∈/ I bo‘lsin. U holda
(a + I)(b + I) = ab + I = I. Agar b + I element nolning bo‘luvchisi bo‘ladi. Bundan esa uning nilpotent ekanligi, ya’ni (b + I)n = bn + I = I bo‘lishi kelib chiqadi. U holda bn ∈ I bo‘lib, I idealning primar ekanligini hosil qilamiz.
Dostları ilə paylaş: |
