O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi mirzo ulug‘bek nomidagi o‘zbekiston milliy universiteti

6.6.2-lemma. Agar (ζ, α) /= 0 bo‘lsa, u holda F = K(α).
Isbot. α ∈ F bo‘lganligi uchun K(α) ⊂ F bo‘lib, H = Gal(F, K(α)) gruppa Gal(F, K) Galua gruppasining qism gruppasi bo‘ladi. Siklik gruppaning qism gruppasi yana siklik bo‘lganligi uchun H gruppa ham siklik.
Aytaylik, |H| = m bo‘lsin, u holda |Gal(F, K)| = n ekanligi uchun m | n bo‘lib,

m
H qism gruppaning indeksi d = ⁿ bo‘ladi. Demak, H gruppaning ψ hosil qiluvchi

∈
elementi uchun ψ = ϕ^d tenglik o‘rinli. α K(α) bo‘lganligi uchun ϕ^d(α) = α bo‘lib, bundan ixtiyoriy i, j uchun ϕ^id+j(α) = ϕ^j(α) kelib chiqadi. Quyidagi tengliklarni qaraymiz
n−1 m−1 d−1

k=0

i=0

j=0

(ζ, α) = ^Σ ζ^k · ϕ^k(α) = ^{Σ Σ} ζ^id+j · ϕ^id+j(α) =

m−1 d−1
d−1
m−1

i=0

j=0

j=0

i=0

= ^{Σ Σ} ζ^id+j · ϕ^j(α) = ^Σ ζ^j · ϕ^j(α) · ^Σ ζ^id.

Agar d n bo‘lsa, u holda ζ^d /= 1 bo‘lib, ζⁿ = 1 ekanligini hisobga olgan holda

quyidagini hosil qilamiz

Σ · · ·
m−1

md n

_ζid _{= 1 + ζ}d _{+ ζ}2d _{+ + ζ}(n−1)d ₌ ^{1 − ζ}
1 − ζ^d
₌ 1 − ζ
1 − ζ^d
= 0.

i=0
Demak, d /= n bo‘lgan holda (ζ, α) = 0. Lemma shartiga ko‘ra (ζ, α) /= 0 bo‘lganligi uchun d = n, ya’ni m = 1 kelib chiqadi. Bu esa, H = {e} ekanligini, ya’ni F = K(α) bo‘lishini bildiradi.

Biz yuqoridagi lemmada agar (ζ, α) /= 0 bo‘lsa, u holda F = K(α) bo‘lishini ko‘rsatdik. Lekin buning teskarisi har doim ham o‘rinli bo‘lavermaydi. Ya’ni F = K(α) bo‘lib, (ζ, α) = 0 bo‘lishi ham mumkin.

Endi (ζ, α)

0 bo‘lsa, β = (ζ, α) kabi belgilab, (ζ^t, α) ifodalarni o‘rganamiz.