2.1.2-ta’rif. Bizga G va G1 gruppalar, hamda f : G → G1 gomomorfizm berilgan bo‘lsin.
Agar f syurektiv bo‘lsa, u holda f akslantirish epimorfizm deyiladi;
Agar f inyektiv bo‘lsa, u holda f akslantirish monomorfizm deyiladi;
Agar f biyektiv bo‘lsa, u holda f akslantirish izomorfizm deyiladi;
G gruppani G1 gruppaga akslantiruchi epimorfizm mavjud bo‘lsa, u holda G1
gruppa G ning gomomorf obrazi deyiladi.
Demak, gruppalarning izomorfizmi bu birinchi gruppani ikkinchi gruppaga o‘tkazuvchi biyektiv (o‘zaro bir qiymatli) gomomorfizm ekan. Agar G gruppani G1 gruppaga akslantiruvchi izomorfizm mavjud bo‘lsa, u holda G va G1 gruppalar
o‘zaro izomorf deyilib, G ∼= G1 kabi belgilanadi. Gruppani o‘zini o‘ziga akslantiruvchi izomorfizm esa avtomorfizm deb ata- ladi. Berilgan G gruppaning barcha avtomorfizmlar to‘plamini Aut(G) kabi bel- gilanadi.
2.1.3-ta’rif. G va G1 gruppalar, hamda f : G → G1 gomomorfizm berilgan bo‘lsin. U holda {a ∈ G | f (a) = e1} to‘plam f gomomorfizmning yadrosi deyiladi va Kerf kabi belgilanadi.
2.1.1-teoremadan ma’lumki, e ∈ Kerf, ya’ni ixtiyoriy gomomorfizmning yad- rosi bo‘sh bo‘lmagan to‘plamdan iborat bo‘ladi.
2.1.2-teorema.G gruppani G1 gruppaga akslantiruvchi f gomomorfizm berilgan bo‘lsin. U holda f monomorfizm bo‘lishi uchun Kerf = {e} tenglik o‘rinli bo‘lishi zarur va yetarli.
Isbot. Faraz qilaylik, f monomorfizm bo‘lsin, u holda ixtiyoriy a ∈ Kerf element uchun f (a) = e1 = f (e) tenglikka ega bo‘lamiz. Ushbu f akslantirish inyektiv bo‘lganligi uchun a = e, ya’ni Kerf = {e}.
Endi Kerf = {e} tenglik o‘rinli bo‘lsin. Ixtiyoriy a va b elementlar uchun
f (a) = f (b) tenglikdan
f (a ∗ b−1) = f (a) ∗1 f (b−1) = f (a) ∗1 f (b)−1 = e1 kelib chiqadi. Natijada, a ∗ b−1 ∈ Kerf = {e} munosabatga ega bo‘lamiz, bu munosabat esa o‘z navbatida a ∗ b−1 = e tenglikka ekvivalent, ya’ni a = b. Demak, f monomorfizm ekan.
Quyidagi teoremada birinchi gruppani ikkinchi gruppaga o‘tkazuvchi ixtiyoriy gomomorfizmning yadrosi birinchi gruppaning normal qism gruppasi bo‘lishini ko‘rsatamiz.
