О‘zbekiston respublikasi oliy va о‘rta maxsus ta’lim vazirligi «Oliy matematika»

MAVZU: IRRATSIONAL QATNASHGAN FUNKSIYALARNI INTEGRALLASH.

Irratsional funksiyadan olingan integral hamma vaqt ham elementar funksiyalar orqali ifodalanavermaydi. Irratsional funksiyalarni integrallashda o’zgaruvchilarni almashtirish yordamida ularni ratsional funksiyalarni integrallashga keltiramiz.

ko'rinishdagi integralni qaraymiz. Aytaylik, soni kasrlarning umumiy mahraji bo’lsin. almashtirish qilamiz. U holda, har bir kasr ko’rsatkichli daraja butun ko’rsatkichli darajaga almashadi va natijada, integral ostidagi funksiya ning ratsional funksiyasidan iborat bo’ladi. Endi ko’rinishdagi integralni qaraymiz. Bu integral

almashtirish bilan ratsional funksiyani integrallashga keltiriladi. Bu yerda soni

soni kasrlarning umumiy mahraji.

Ba’zi hollarda ko’rinishdagi aniqmas integrallar ham uchraydi. Bunday integrallar Eyler almashtirishlari deb ataluvchi quyidagi almashtirishlar yordamida ratsional funksiyani integrallashga keltiriladi.

1. 
   Eylerning birinchi almashtirishi. Agar bo’lsa,
   

almashtirish qilamiz. U holda bo’ladi. Bundan x ni t ning ratsional funksiyasi sifatida aniqlaymiz.

Bu yerda ham ning ratsional funksiyasidan iborat bo’ladi. Shunday qilib bo’lib u t ni ratsional funksiyasi bo’ladi.

2. 
   Eylerning ikkinchi almashtirishi. Agar bo’lsa, almashtirish qilamiz. Oxirgi tenglikni har ikkala tomonini kvadratga ko’tarsak tenglik hosil bo’ladi. Bu ifodadan oldida plyus ishorani olib х ni topamiz,
   

dx va larni t orqali ifodalab berilgan integralga , x dx va ning t orqali qiymatlarini qo’ysak integral ratsionallashadi.

3. 
   va kvadrat uchhadning haqiqiy ildizlari bo’lganda
   

almashtirishni olamiz. U holda bo’lgani uchun

tenglik hosil bo’ladi. Bu tenglikni kvadratga ko’tarib x o’zgaruvchini topamiz va bundan kelib chiqadi. dx va larni t orqali ifodalab berilgan integralga , x dx va ning t orqali qiymatlarini qo’ysak integral ratsionallashadi.

Misol. Ushbu integral hisoblansin.

Yechish. Bu integralda almashtiramiz. Chunki .

Binomial differensiallarni integrallash.

Ushbu

differensial ifoda binomial differensia deb ataladi. Uning integrali

berilgan bo’lsin. Bunda o’zgarmas sonlar, ratsional sonlardir. Integralni hisoblash uchun quyidagi uchta

1. 
   butun son;
   
2. 
   butun son;
   
3. 
   butun son;
   

holdagina ratsional funksiyalarning integrali orqali ifodalanadi:

1. 
   butun son bo'lsa, yuqorida ko’rilgan eng sodda irratsional funksiya integraliga ega bo’lamiz.
   
2. 
   butun son bo’lsa, almashtirish bajaramiz. Bu yerda ratsional sonning maxraji.
   
3. 
   butun son bo’lsa, almashtirish olsak integral ratsional funksiyaning integraliga keladi. Bunda ham ratsional sonning maxraji.
   

Misol. integral hisoblansin.

Yechish. Integralni quyidagi ko’rinishga keltiramiz.

Bunda bo’lib, butun son. Shuning uchun







ko’rinishdagi integrallar.

ko’rinishdagi integrallar almashtirish yordamida, ko’rinishdagi integrallar almashtirish yordamida,

ko’rinishdagi integrallar almashtirish yordamida, ratsional funksiyaning integrallariga keltiriladi.