O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi samarqand davlat universiteti abdirashidov A., Babayarov A. I

Yechish.
Berilganlarlarga ko‘ra:
k
=1; 
B
=

–9

=9; 
a
n
=3; 
4
3
9
1
1




B
R
. 
Yordamchi tenglamani tuzamiz: 
)
(
x
P
n

=9
x
8
+
x
7
+6
x
5
+5
x
–3 = 0, 
bu yerdan esa
k
=8; 
B
=

–3

=3; 
a
n
=9; 
5
,
0
87
,
1
1
9
3
1
1
1
8







R
R
b
. 
Bu yerdan musbat ildizlarning chegarasi 0,5 ≤ 
x
+ 
≤ 4 ekanligi kelib chiqadi. Endi 
manfiy ildizlarning chegarasini aniqlaylik: 
)
(
)
(
2
x
P
x
P
n
n


=3
x
8
+ 5
x
7
+ 6
x
3
+ 
x
– 9 = 0; 
0
,
2
3
1
3
9
1
8
8






B
R
; 










x
P
x
x
R
n
n
b
1
)
(
3
9
x
8
– 
x
7
– 6
x
5
– 5
x
– 3 = 0; 
k
=8;
B
=

–6

=6;
a
n
=9;
6
,
0
5
3
3
5
1
9
6
1
1
1
4







R
R
b
. 
Bu yerdan esa manfiy ildizlarning chegarasi -2 ≤ 
x
– 
≤ 0,6 ekanligi kelib chiqadi. 
Har bir ildiz yotgan intervalni topish uchun esa qo‘shimcha tadqiqod o‘tkazish lozim 
bo‘ladi. Buni quyidagi misolda ko‘ramiz. 
2-misol.
Quyidagi tenglama haqiqiy ildizlarning chegarasini toping: 
0
8
8
5
)
(
2
4





x
x
x
x
f
.
Yechish. 
3-teoremani qo‘llaymiz, bu yerda 
a
0
=1, 
A
=8. Demak 
R
=1+8=9, demak 
tenglamaning ildizlari (-9; 9) oraliqda yotar ekan. 
Endi Lagranj teoremasini qo‘llaymiz: 
a
0
=1, 
k
=2, 
B
=8. Musbat ildizlarning 
yuqori chegarasi uchun 

---

63 
84
,
3
2
2
1
1
8
1





R
ni hosil qilamiz. Berilgan tenglamada 
x
ni –
x
ga almashtirsak, 
0
8
8
5
)
(
2
4
1





x
x
x
x
f
tenglama kelib chiqadi. Bu tenglama musbat ildizlarning yuqori chegarasi uchun ham 
R
<3,84 tengsizlik kelib chiqadi, ya’ni Lagranj teoremasiga ko‘ra misol shartida beril-
gan tenglamaning ildizlari (–3,84; 3,84) kesmada joylashgan ekan.
Nyuton teoremasini qo‘llaylik. Bu yerda
f
1
(
x
) = 
x
4
–5
x
2
–8
x
–8=0 ,
8
10
4
)
(
3




x
x
x
f
,
10
12
)
(
2



x
x
f
,
x
x
f
24
)
(


,
0
)
(

x
f
IV
,
ko‘rinib turibdiki, 
x 
> 2 uchun
0
)
(
,
0
)
(
,
0
)
(





x
f
x
f
x
f
IV
va
0
)
(


x
f
. 
Osongina payqash mumkinki, 
x 
> 2, bo‘lsa 
f
(
x
) ham faqat musbat qiymat qabul qi-
ladi, ya’ni 
c
=2 musbat ildizlarining yuqori chegarasi ekan. Xuddi shuningdek, 
f
1
(
x
)=0 
tenglama musbat ildizlarning yuqoroi chegarasi 
c
=3 ekanligiga ishonch hosil qilamiz. 
Demak, berilgan tenglamaning ildizlari (–3; 2) kesmada yotar ekan (2.10-rasm).
Har uchala usul natijalarini solishtirsak, Nyuton usuli, garchi ko‘proq mehnat 
talab qilsada, ildizlar chegaralari uchun yaxshiroq natija berishi ko‘rinadi.
 
 
2.10-rasm. 
f
(
x
)=
x
4
-5
x
2
+8
x
-8=0 funksiyaning Excel da chizilgan grafigi. 
3-misol.
Ushbu 
f
(
x
)=
x
4
–
x
3
–2
x
2
+3
x
–3=0 tenglamaning ildizlarini analitik usul bi-
lan ajrating. 
Yechish.
Berilgan 
f
(
x
) funksiya grafigining kritik nuqtalarini
f

 
(
x
) = 4
x
3
–3
x
2
–4
x
+3 = 0 yoki 4
x
(
x
2
–1)–3(
x
2
–1) = 0
yoki (4
x
–3)(
x
2
–1)=0 yoki (4
x
–3)(
x
–1) (
x+
1)=0 
tenglamadan aniqlaymiz: 
x
1
= –1; 
x
2
= 1; 
x
3
= 3/4. 
f
(
x
) funksiya ishoralarining jadvalini quramiz: 
x 
–

–1 
3/4 
1 
+

sign 
f
(
x
) 
+ 
– 
– 
– 
+ 

---

64 
Bu jadvaldan ko‘rinadiki, berilgan 
f
(
x
) funksiya ikkida haqiqiy ildizga ega:
x
1

(–

; –1] va
x
2

[1; +

). Ildizlar yotgan oraliqlarni kichraytiramiz: 
x 
–

–2 
3/4 
1 
+2 
+

sign 
f
(
x
) 
+ 
+ 
– 
– 
+ 
+ 
Shunday qilib, haqiqiy ildizlar 
yotgan kesmalar: 
x
1

[–2;–1] va 
x
2

[1; 2]. 
Berilgan tenglamaning ild-
izlarini ajratishni uning Maple 
dasturida chizilgan grafigidan 
ko‘ramiz: 
>
with
(
plots
):
f
:=
x
4
–
x
3
–2
x
2
+3
x
–3;
plot
(
f
,
x
=–2..2); 
Sinov savollari 
1.
Chiziqli bo‘lmagan tenglamalarni yechishning aniq usullaridan qaysilarini bilasiz? 
2.
Ildizlarni ajratishning birinchi bosqichida nima qilish kerak? 
3.
Chiziqli bo‘lmagan tenglama yechimining mavjudligi shartini ayting. Bu talablar 
zarur va yetarli shart bo‘la oladimi? 
4.
Agar 
f
(
a
)

f
(
b
)

0 shart bajarilsa siz bu vaziyatda qanday yo‘l tutasiz? 
5.
Chiziqli bo‘lmagan tenglama yechimining mavjudligini aniqlashda [
a
,
b
] kesma 
kattaroq qilib tanlansa, qanday «salbiy holatlar» yuzaga keladi? 
 
Mashqlar 
Quyidagi tenglamalarning haqiqiy ildizlarini ajrating: 
1.
0
sin
20
2


x
x
; 
2.
0
1
2
2
2



x
x
; 
3.
0
6
2
4



x
x
; 
4.
0
2
2
.
2


x
x
; 
5.
0
2
2



x
e
x
; 
6. 1,8
x
2
+ cos(
x
+2) = 0; 
7.
0
2
2
2
4




x
x
x
; 
8. 2
x
– 3ln
x
– 3 = 0; 
9.
x
4
–35
x
3
+38
x
2
–10
x
+1=0; 
10. 
x
5
–4
x
4
+6
x
3
–3
x
2
+2
x
+1=0; 
11. 
x
2
– cos
x
= 0; 
12. ctg
x
– 
x
/3 = 0; 
13.
x
2
+ 4
x
sin
x
= 0; 
14. 1,8
x
2
– sin10
x
= 0; 
15.
x
lg
x
– 1,2 = 0; 
16. ctg1,05
x
– 
x
2
= 0. 
Izoh.
Bu jarayonni MS Excel dasturi yoli matematik paketlardan biri yordamida 
ham bajarib, olingan natijalarning to‘g‘ri ekanligiga yana bir bor ishonch hosil qiling. 
 

---

65 
2.4. Nochiziqli tenglama oddiy ildizlarini topishning taqribiy usullari 
Quyida 
f
(
x
)
=
0 tenglamaning faqat oddiy ildizlarini topish masalasi qaraladi. 
Buning uchun masala umumiy holda quyidagi shartlar bilan qo‘yiladi. 
Masalaning qo‘yilishi. 
Chekli [
a,b
] kesmada aniqlangan, uzluksiz, ikki marta 
differensiyallanuvchan, ya’ni birinchi va ikkinchi tartibli hosilalari shu kesmada 
mavjud va unda bu hosilalari o‘z ishorasini saqlaydigan (birinchi hosilasi nolga 
aylanmaydigan) 
f
(
x
) funksiya uchun 
f
(
x
)
=
0 tenglama [
a,b
] kesmada yagona yechimga 
ega bo‘lsin va bu yechimni berilgan 

 > 
0 aniqlikda taqribiy hisob usullari yordamida 
topish talab qilinadi. 
Skanirlash usuli. 
Berilgan 
f
(
x
)
=
0 tenglamaning [
a,b
] kesmadagi ildizi ajratilgan 
bo‘lsin. [
a,b
] kesma berilgan yetarlicha kichik 

uzunlikdagi kesmalarga bo‘linadi va 
hosil bo‘lgan kesmalarning oxirlarida 
y
=
f
(
x
) funksiyaning qiymatlari hisoblanadi. Bu 
qiymatlarni tahlil qilish bilan qaysi oraliqda funksiya o‘z ishorasini almashtirayotgan-
ligini (yoki qiymati aniq nolga teng ekanligini (bu juda kamdan kam holda kuza-
tiladi)) aniqlash mumkin (2.11-rasm).
(2.1) tenglamaning yechimi sifatida 
tanlangan kesmaning chegaralaridagi xox-
lagan 
x
i
– chap yoki 
x
i
+1
– o‘ng uchi 
nuqtasini, yanada aniqroq bo‘lishi uchun 
esa, kesmaning o‘rtasidagi 
x
= (
x
i
+ 
x
i
+1
)/2 nuqtani olish mumkin. Bu bilan biz 
talab qilingan 

aniqlikdagi yechimga er-
ishgan bo‘lamiz. Amaliyotda bu usul 
qo‘llanilganda ko‘pincha [
a,b
] kesma 2

yoki 

/2 uzunlikdagi kesmalarga bo‘linishi 
ham mumkin, bu asosiy natijaga deyarli 
ta’sir qilmaydi. 
2.11-rasm. Skanirlash usulining sxemat-
ik tasviri. 
Usulning samaradorligini oshirish maqsadida aniqlashtirishni bir necha bos-
qichda bajarish ham mumkin. Dastlabki bosqichda [
a,b
] kesma 

ning kattaroq 
qiymatlarida bo‘laklarga bo‘linadi, ya’ni qo‘pol yechim topiladi. Keyingi bosqichda 
esa shu topilgan oxirgi kesma bo‘lagi yana bo‘laklarga bo‘linadi va yanada aniqroq 
yechimga erishiladi. Bu jarayon bir necha marotaba takrorlanishi ham mumkin. Bu 
bilan kamroq qadamlar bilan berilgan xatolikdagi yechimga erishish mumkin. 
Bu usul juda ham sodda bo‘lganligi uchun uning tahliliga va tadbiqiga oid mi-
sollarga to‘xtalib o‘tirmaymiz.