O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi samarqand davlat universiteti abdirashidov A., Babayarov A. I

 
2.18.-rasm. Vatarlar usulining blok-
sxemasi. 
hosilasi ishorasi bilan bir xil bo‘lsa, o‘sha chet qo‘zg‘almas qilib olinadi. 
1-misol.
Bu qoidani 
0
1
)
ln(
)
1
(



x
x
tenglamaning [2;3] kesmadagi yakka-
langan ildizini topishga qo‘llang. 
Yechish.
Bu yerda
f
(
x
)=
1
)
ln(
)
1
(


x
x
;
x
x
x
x
f
1
)
ln(
)
(




;
2
1
1
)
(
x
x
x
f



. 
Kesmaning 
b 
= 3 chetki nuqtasida funksiyaning qiymati musbat 
f
(3)>0 va kesmada 
esa ikkinchi tartibli hosila ham musbat 
0
)
(


x
f
,ya’ni 
0
)
(
)
(



x
f
b
f
. Shunday 
qilib, ushbu misolda berilgan tenglamaning izolyatsiyalangan ildizini vatarlar usuli 
bilan topish uchun ushbu 
)
(
)
(
)
)(
(
1
n
n
n
n
n
x
f
b
f
x
b
x
f
x
x





formuladan foydalanish tavsiya etiladi. 
2-misol.
Ushbu 
f
(
x
) = 
x
3
– 0.2
x
2
– 0.2
x
– 1.2 = 0 tenglamaning [1;1,5] kesmadagi 
x
ildizini 0,002 aniqlik bilan hisoblang. 

---

75 
Yechish
. Berilgan tenglama [1;1,5] kesmada yagona 
x
ildizga ega (buni Maple 
matematik paketida yoki MS Excel dasturida mustaqil tekshirib ko‘ring). 
Usulning formulasiga ko‘ra
 
f '
(
x
) = 3
x
2
– 0.4
x
– 0.2 ;
f ''
(
x
) = 6
x
– 0.4 ; 
f
(1) = –0.6 < 0 ;
f
(1.5) = 1.425 > 0, 
demak 
x

[1;1,5] da 2.4 

f '
(
x
) 

5.95 ; 5.6 

f ''
(
x
) 

8.6 . 
Bu yerdan ko‘rinadiki, 
x

[1;1,5] da
f '
(
x
)
 f ''
(
x
) > 0. Shuning uchun
x
0
=a
,
)
(
)
(
)
(
)
(
1
n
n
n
n
n
x
b
x
f
b
f
x
f
x
x





(
n
=0,1,2,…) 
formuladan foydalanib (bunda 
x
0
= 
a
= 1, 
b
= 1,5), ketma-ket quyidagilarni topamiz: 
;
173
.
0
)
(
;
15
.
1
1
6
.
0
425
.
1
)
1
5
.
1
(
6
.
0
1
1







x
f
x
;
036
.
0
)
(
;
19
.
1
173
.
0
425
.
1
15
.
1
5
.
1
173
.
0
15
.
1
2
2







x
f
x
;
0172
.
0
)
(
;
198
.
1
036
.
0
425
.
1
19
.
1
5
.
1
036
.
0
19
.
1
3
3







x
f
x
;
0061
.
0
)
(
;
199
.
1
0172
.
0
425
.
1
198
.
1
5
.
1
0172
.
0
198
.
1
3
4







x
f
x
 
Bu yerdan ko‘rinadiki, 
002
.
0
198
.
1
199
.
1
3
4




x
x
ekanligidan taqribiy ildiz 
sifatida 
199
.
1
4


x
x
ni qabul qilishimiz mumkin (aniq ildiz 
x
=1.2). 
Endi shu misolni Maple dasturining paketidan foydalanib yechamiz (2.19-rasm): 
>with
(
Student
[
NumericalAnalysis
]): 
>
f
:=
 x
3
– 0.2
x
2
– 0.2
x
– 1.2; 
>
fsolve
(
f
); 
1.200000000 
>
FalsePosition
(
f
,
x
=[1,1.5],
tolerance
=10
-2
); 
1.200000000 
>
 FalsePosition
(
f
,
x
=[1,1.5],
tolerance
=10
-2
, 
outpout=sequence
); 
>
 FalsePosition
(
f
,
x
=[1,1.5],
tolerance
=10
-2
, 
stoppingcriterion=absolute
); 
1.200000000 
>
 FalsePosition
(
f
,
x
=[0,2],
 outpout=animation, tolerance
=10
-2
, 
stoppingcriterion=function_value
); 

---

76 
2.19-rasm. Vatarlar usuli jarayonining grafigi va animatsiyasi. 
 
Mashqlar 
Quyida berilgan tenglamalarni vatarlar usuli bilan yeching (bunda 
a
, 
b
, 
c
, 

parametrlarni o‘zingiz har xil tanlash orqali turli variantlar hosil qilishing‘iz 
mumkin): 
1. 
0
2
3




x
c
b
ax
, 
a 
= 1.11; 
b 
= –10.11; 
c 
= –2.02; 

= 7

10
-5
. 
2. 
0
sin


x
bx
ax
, 
a 
= 2.01; 
b 
= –1; 

= 10
-5
. 
3. 
0
)
cos(
3



cx
b
x
a
, 
a 
= 2.13; 
b 
= 3.62; 
c 
= –4.12; 

= 2

10
-4
. 
4. 
0
)
(
)
ln(
5




b
x
a
x
, 
a 
= 2.11; 
b 
= 4.03; 

= 3

10
-5
. 
5. 
0
cos
2


cx
bx
ax
, 
a 
= 2.93; 
b 
= 3.01; 
c 
= 2.1; 

= 7

10
-5
. 
6. 
0
/


cx
be
x
a
, 
a 
= 2.37; 
b 
= –0.99; 
c 
= 0.56; 

= 5

10
-4
. 
Izoh:
Dastlab funksiyaning grafigini matematik paketlardan birida (Maple, 
Matlab, Mathcad, Mathematica va boshqa) yoki MS Excel dasturida chizing, haqiqiy 
ildizlar yotgan oraliqlarni aniqlab oling, hisoblashlarni qo‘lda va dastur yordamida 
bajaring. 
 
Nyuton usuli (urinmalar usuli yoki chiziqlilashtirish usuli).
Chiziqli bo‘lmagan tenglamalarni yechishning eng samarali usuli bu Nyuton 
usulidir. Bu usulning g‘oyasi asosida tadqiq qilinayotgan 
f
(
x
) funksiyani undanda 
soddaroq bo‘lgan funksiyaga, ya’ni uni urinmaga almashtirishdan iborat. 
Geometrik nuqtai nazardan, dastlab 
x
0
nuqta orqali 
f
(
x
) funksiyaning egri 
chiziqli grafigiga urinma o‘tkaziladi va uning absissa o‘qi bilan kesishish nuqtasining 
absissasi topiladi (2.21-rasm). 
f
(
x
) funksiyaning egri chiziqli grafigiga 
M
0
(
x
0
,
f
(
x
0
)) nuqtasi orqali o‘tkazilgan 
urinma tenglamasi quyidagicha yoziladi: 
)
)(
(
'
)
(
0
0
0
x
x
x
f
x
f
y



. 

---

77 
Keyingi 
x
1
yaqinlashish urinmaning absissa o‘qi bilan kesishish nuqtasi bo‘lib, 
bu nuqta ushbu 
)
(
)
(
0
0
0
1
x
f
x
f
x
x



formuladan topiladi. Bu jarayonni 
M
1
, …, 
M
n
-1
nuqtalar uchun xuddi shunday davom 
ettirib va 
0
)
(
'

n
x
f
ekanligini e’tiborga olib, ushbu 
,
)
(
)
(
1
n
n
n
n
x
f
x
f
x
x




formulaga kelamiz, bunda [
a,b
] kesmada 
x
0
=a
, agar 
0
)
(
)
(



x
f
a
f
bo‘lsa va 
x
0
=b
agar 
0
)
(
)
(



x
f
b
f
bo‘lsa. 
Shakli o‘zgartirilgan formula: 
.
)
(
)
(
0
1
x
f
x
f
x
x
n
n
n




Bu formuladan foydalanilganda yaqinlashish tezligi bir oz sustlashadi. 
Urinmalar usuli shartli yaqinlashuvchi usul bo‘lib, uning yaqinlashishi
x
x
n
n



lim
uchun (
x
- ildizning izlanayotgan qiymat) 
ildiz izlanayotgan sohada quyidagi shart ba-
jarilishi zarur: 
2
))
(
'
(
)
(
''
)
(
n
n
n
x
f
x
f
x
f


. 
Ixtiyoriy boshlang‘ich (nolinchi) yaqin-
lashishda iteratsiya yaqinlashuvchi bo‘ladi, 
agar yuqoridagi shart bajarilsa. 
Aks holda yaqinlashish ildizning biror 
atrofidagina bajariladi. 
Iteratsion 
jarayonning 
yaqinlanishi 
uchun quyidagi uchta kriteriyadan foyda-
lanish mumkin: 
 
 
2.21-rasm. Nyuton usulining
geometrik talqini. 
1) Iteratsiyalarning maksimal soni. Bu kriteriyadan usul yaqinlashmagan holda 
foydalanish lozim. Shunga qaramasdan talab qilingan aniqlikni qanoatlantiruvchi it-
eratsiyalar sonini oldindan aniqlash juda qiyin. 
2) Ildizga yaqinlashishning kuchsiz variatsiyasi 




n
n
x
x
1
yoki
n
n
n
x
x
x




1
. 
3) Funksiyaning yetarlicha kichik qiymati 


)
(
n
x
f
. 
Nyuton usuli ikkinchi tartibli yaqinlashish tezligiga ega. Bu shuni bildiradiki, ild-
iz yaqinida xatolik quyidagi qonun bo‘yicha kamayib boradi: 
2
1



i
i
const


. 

---

78 
Shuning uchun Nyuton usulining iteratsiyalari juda tez yaqinlashadi, chunki 
yuqoridagi 2-shartning bajarilishi uchun bir nechta iteratsiyaning o‘zi yetarli. Agar 
dasturda 
i 
> 10 da ham 2-yaqinlashish sharti bajarilishi kuzatilmasa, demak yoki for-
mulada yoki dasturda xatolik bor degan xulosaga kelish kerak. 
Shunday qilib, 
usulning ustunliklari
: yaqinlashish tezligi boshqa usullarga qara-
ganda ancha tez, bu boshlang‘ich yaqinlashishni ildizga yaqinroq tanlaganda yanada 
yaqqol seziladi; 
usulning kamchiliklari
: boshlang‘ich yaqinlashishni tanlash og‘ir; har 
bir iteratsiya qadamida hisoblashlar boshqa usullardagiga qaraganda ko‘p, chunki 
bunda nafaqat funksiyaning qiymatini, balki uning hosilasini ham hisoblab borish lo-
zim; ba’zida aralash usulni qo‘llash afzal, ya’ni bu usulni qo‘llashdan oldin avval 
boshqa usulni, masalan, dastlabki bir necha iteratsiya qadamida oraliqni teng ikkiga 
bo‘lish usulini qo‘llab, keyingi yaqinlashishlarni Nyuton usulida bajarish juda yaxshi 
natija beradi; agar 
f
(
x
) funksiya grafigi [
a
,
b
] kesmada yetarlicha yotiq bo‘lsa, u holda 
f 
'(
x
)

0 va hisoblashlarda xatolik tez ko‘payadi, bunday holda keyingi hisoblashlarda 
oraliqni teng ikkiga bo‘lish usuliga o‘tgan ma’qul; agar [
a
,
b
] kesmada umuman ildiz 
yo‘q yoki ular soni bir nechta bo‘lsa, u holda bu usul iteratsiyalarining 
takrorlanishlari soni cheksizlikka intiladi (2.22-rasm). 
Usulning algoritmi
: 
1. [
a
,
b
] kesmani va 

aniqlikni berish. 
2. Agar 
f
(
a
) va 
f
(
b
) lar bir xil ishorali yoki 
f'
(
a
) va 
f'
(
b
) lar har xil ishorali bo‘lsa, 
ildizni 
topish 
mumkin 
emasligini 
bildirish. 
3. Boshlang‘ich yaqinlashishni tanlash:

x
0
=a
, agar 
0
)
(
)
(



x
f
a
f
bo‘lsa;
x
0
=b
agar 
0
)
(
)
(



x
f
b
f
bo‘lsa. 
4. Navbatdagi yaqinlashishni quyidagi for-
mula bo‘yicha hisoblash. 
2.22-rasm. Nyuton usulining
uzoqlashishi. 
)
(
)
(
1
n
n
n
n
x
f
x
f
x
x




yoki 
)
(
)
(
0
1
x
f
x
f
x
x
n
n
n




. 
5. Aniqlikni baholash: 




n
n
x
x
1
. 
6. Agar bu shart bajarilsa, ildiz deb 
x
=
x
n
+1
ni qabul qilish, aks holda 4-qadamga 
o‘tish. 
Nyuton usulining blok sxemasi 2.23-rasmda tasvirlangan. 
Dasturda cheksiz takrorlanishlar kuzatilmasligi uchun funksiya grafigining 
qovariq yoki botiqligini (2.24-rasm) va iteratsiyalar sonini nazorat qilish maqsadga 
muvofiq.