O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi samarqand davlat universiteti abdirashidov A., Babayarov A. I

 
 
Teorema.
Agar biror 
S 
= { 
x 
:

x 
– 
x
0



} nuqtalar to‘plamida 

(
x
) funksiya 
ushbu 


(
x

) – 

(
x

)

< 
q

x

 
– 
x

, 
x

, 
x


S
, 
q
< 1,
Lipshits shartini 
va 

x
0
– 

(
x
0
)

(1 – 
q
)

shartni qanoatlantirsa, u holda 
x
= 

(
x
) tenglama 
S
kesmada yagona 

ildizga ega bo‘ladi. 
Iteratsion jarayonning yaqinlashish tezligi
ushbu 

x
n
 
– 



m q
n 
/ (1 – 
q
) 
tengsizlikdan aniqlanadi, bunda
m 
= 

x
0
– 

(
x
0
)

.
Agar 

(
x
) funksiya 
S 
kesmada uzluksiz 


(
x
) hosilaga ega bo‘lsa, u hoda 
Lipshits shartini
sodda qilib 



(
x
)


q
< 1 kabi yozish mumkin.
Bular oddiy iteratsiya usuli maxraji 
q
ga teng bo‘lgan 
geometrik progressiya 
tezligi bilan yaqinlashadi
degani. 
Shuni ta’kidlaymizki, 

(
x
) funksiyani tanlashda juda ehtiyotkorlik talab qilinadi. 
Masalan, 
f
(
x
) = 
x
2
– 
c 
tenglamani
x
= 
x
2
– 
c
+ 
x
yoki
x
= 
c
/
x
yoki
x
= 0,5(
x
+
c
/
x
)
ko‘rinishga keltirish mumkin. Shulardan 

(
x
) = 
x
2
–
c
+
x
ko‘rinishni tanlasak, –1<
x
<0 
oraliqdagina 
1
)
(


x

shart bajariladi va iteratsion jarayon –
c
ildizga 
yaqinlashadi. Agar 

(
x
) = 
c
/
x
desak, u holda 

 

(
x
)= –
c
/
x
2
va iteratsion jarayon 
uzoqlashuvchi bo‘lib chiqadi. 
Oddiy iteratsiyalar usulining blok-sxemasi 2.37-rasmda tasvirlangan. 
Namunaviy mashqlar va ularning yechimlari 
1-misol.
Ushbu 
a
) 
f
(
x
)=
x
3
–
x
–1=0; 
b
) 
f
(
x
)=
x
3
–
x
+1=0 tenglamaning ildizini oddiy 
iteratsiyalar usuli yordamida 

=0,01 aniqlik bilan toping. 

---

91 
Yechish.
a
) Ushbu 
f
(
x
)=
x
3
–
x
–1=0 tenglama [1;2] kesmada yagona ildizga ega, 
chunki
f
(1) = –1 < 0 va
f
(2) = 5 > 0. Agar berilgan tenglamani 
x
=
x
3
–1 ko‘rinishda 
yozib olsak, 

(
x
)=
x
3
–1 va 


(
x
)=3
x
2
. Bunda 
x

[1;2] lar uchun 


(
x
)

3, demak ite-
ratsion jarayon uzoqlashuvchi. Agar berilgan tenglamani 
3
1


x
x
deb 
o‘zgartirsak, 
u 
holda 

(
x
)=
3
1

x
va 
)
)
1
(
3
/(
1
)
(
3
2



x
x

. 
Bunda 
4
/
1
)
4
3
/(
1
)
(
0
3




x

tengsizlik barcha 
x

[1;2] lar uchun o‘rinli, demak 
iteratsion jarayon yaqinlashuvchi. Shunga ko‘ra 
3
1
1



n
n
x
x
iteratsion formuladan 
foydalanib ildizni topamiz. Topilgan qiymatlar: 1,0; 1,260; 1,312; 1,322; 1,3243 
ekanligidan izlangan yechim 

=0,01 aniqlik bilan 

=1,324 ga tengligi kelib chiqadi. 
Xususan, 
f

(
x
)=3
x
2
–1; 
11
)
(
max
]
2
,
1
[



x
f
Q
; 
k

Q
/2 

6; 

(
x
) = 
x
–
f
(
x
)/
k 
=
 x
–(
x
3
–
x
–1)/6; 
)
(
1
n
n
x
x



munosabatlarga ko‘ra 1,0; 1,1667; 1,2631; 1,3044; 1,3186; 1,3229; 
1,3242 natijalarni olamiz. Demak, 

=1,324 berilgan tenglamaning taqribiy ildizi. 
2.37-rasm. Oddiy iteratsiyalar usulining blok-sxemasi. 
b
) Ushbu 
f
(
x
)=
x
3
–
x
+1=0 tenglama [-2;-1] kesmada yagona ildizga ega. Agar 
berilgan tenglamani 
3
1


x
x
deb o‘zgartirsak, u holda 

(
x
)=
3
1

x
va 
)
)
1
(
3
/(
1
)
(
3
2



x
x

. Bunda 
4
/
1
)
4
3
/(
1
)
(
0
3




x

tengsizlik barcha 
x

[-2;-1] 
lar uchun o‘rinli, demak iteratsion jarayon yaqinlashuvchi. Shunga ko‘ra 
3
1
1



n
n
x
x
iteratsion formuladan foydalanib ildizni topamiz. Topilgan qiymatlar: -
1,000; -1,2599; -1,3123; -1,3223; -1,3243; -1,3246 ekanligidan izlangan yechim 

---

92 

=0,001 aniqlik bilan 

=-1,3246 ga tengligi kelib chiqadi. Xususan, 
f

(
x
)=3
x
2
–1; 
11
)
(
max
]
1
,
2
[





x
f
Q
; 
k

Q
/2 

6; 

(
x
) = 
x
–
f
(
x
)/
k 
=
 x
–(
x
3
–
x
+1)/6; 
)
(
1
n
n
x
x



muno-
sabatlarga ko‘ra -1,0; -1,1667; -1,2631; -1,3044; -1,3186; -1,3229; -,3242 natijalarni 
olamiz. Demak, 

=-1,324 berilgan tenglamaning taqribiy ildizi. 
2-misol. 
Ushbu 
0
sin
)
/
1
(
cos


x
x
x
tenglamaning eng kichik musbat ildizini 
oddiy iteratsiyalar usuli bilan beshta ishonchi raqam bilan aniqlang. 
Yechish. 
Berilgan tenglamani 
x
x
tg

ko‘rinishda yozib olaylik. 
y
=
x
va 
y
=tg
x
funksiyalarning grafiklarini chizib, dastlabki yaqinlashishni 
x
0
= 1,5


4,7 deb 
olishimiz mumkin, ammo bu hol uchun 

(
x
) = (tg
x
)

= 1/cos
2
x 

1 ekanligidan 
tanlangan iteratsion jarayonning uzoqlashuvchanligi kelib chiqadi. Shuning uchun 
bunda 
x
= arctg
x
deb olish maqsadga muvofiq, chunki 
x
≠ 0 da 

(
x
) = (arctg
x
)

= 
=1/(1+
x
2
)<1. Demak 
x
n+
1
= arctg
x
n
formuladan 
x
0

4,7 uchun 
x

4,4934 yechimga 
kelamiz. 
3-misol.
Ushbu sin
x 
– 2
x
+ 0,5 = 0 tenglamaning [0;

/2] kesmadagi ildizini 
oddiy iteratsiya usuli yordamida 

=0,001 aniqlik bilan toping. 
Yechish. 
Berilgan tenglamani unga teng kuchli bo‘lgan 
x 
= 0,25 + 0,5sin
x
= 

(
x
) tenglamaga almashtirib olamiz. Buning uchun 
x

[0;

/2] qiymatlarda 

(
x
)=0,5cos
x
va 



(
x
)

0,5<1 o‘rinli. Demak 
x
n
= 0,25 + 0,5sin
x
n
iteratsion 
jarayon 
x
0
= 0,5 boshlang‘ich qiymat uchun ketma-ket 0,4897; 0,4852; 0,4832; 
0,4823; 0,4819; 0,48175; 0,48165; 0,4816 qiymatlarni beradi. Bu yerdan berilgan 
tenglamaning talab qilingan aniqlikdagi yechimi 
x

0,4816 degan xulosaga kelamiz. 
4-misol.
Ushbu 
f
(
x
) =
x 
– cos(
x
) = 0, tenglamani 
x
0
= 1 boshlang‘ich yaqinla-
shishda oddiy iteratsiyalar usuli yordamida 

=10
-10
aniqlik bilan Maple dasturi 
paketidan foydalanib yeching (kesuvchilar usuli mavzusidagi 2-misolga qarang). 
Yechish.
Misolni Maple dasturi paketidan foydalanib yechish (2.38-rasm): 
# Dastur paketini ishga tushirish, funksiyaning berlishi va yechimni topish 
with
(
Student
[NumericalAnalysis]): 
f
:=
 x
–cos(
x
); 
fsolve
(
f
);
0.7390851332 
# Dastur paketidan foydalanib yechimni topish
 
FixedPointIteration(f, x
=1
, 
tolerance=10
−10
); 
0.7390851332 
# Iteratsiyalar natijalarini chop qilish 
FixedPointIteration(f, x
=0.739
, tolerance
=10
−5
,output=sequence, maxiterations
=20);
0.739, 0.7391424773, 0.7390465043, 0.7391111536, 0.7390676053, 0.7390969401, 
0.7390771799, 0.7390904906, 0.7390815244, 0.7390875642 
# Natijalarni grafikda ifodalash 
FixedPointIteration(f, x 
= 1
, toleranc
e =10
−5
, output = plot, stoppingcriterion = func-
tion_value, maxiterations
=20);

---

93 
# Natijalarni grafikda ifodalashning animatsiyasi 
FixedPointIteration(f, x 
= 1
, toleranc
e =10
−5
, output = animation, stoppingcriterion 
= absolyute, maxiterations
=20); 
2.38-rasm. Tenglamaning haqiqiy ildizini oddiy iteratsiyalar usuli bilan
 
topish. 
Mashqlar 
Quyida berilgan tenglamalarni oddiy iteratsiyalar usuli bilan yeching (bunda 
a
, 
b
, 
c
, 

parametrlarni o‘zingiz har xil tanlash orqali turli variantlar hosil qiling): 
1. 
0
2
3




x
c
b
ax
; 
a 
= 1.11; 
b 
= –10.11; 
c 
= –2.02; 

= 7

10
-5
. 
2. 
0
sin


x
bx
ax
; 
a 
= 2.01; 
b 
= –1; 

= 10
-5
. 
3. 
0
)
cos(
3



cx
b
x
a
; 
a 
= 2.13; 
b 
= 3.62; 
c 
= –4.12; 

= 2

10
-4
. 
4. 
0
)
(
)
ln(
5




b
x
a
x
, 
a 
= 2.11; 
b 
= 4.03; 

= 3

10
-5
. 
5. 
0
cos
2


cx
bx
ax
; 
a 
= 2.93; 
b 
= 3.01; 
c 
= 2.1; 

= 7

10
-5
. 
6. 
0
/


cx
be
x
a
; 
a 
= 2.37; 
b 
= –0.99; 
c 
= 0.56; 

= 5

10
-4
. 
Izoh:
Dastlab funksiyaning grafigini matematik paketlardan birida (Maple, 
Matlab, Mathcad, Mathematica) yoki MS Excel dasturida chizing, haqiqiy ildizlar 
yotgan oraliqlarni aniqlab oling, hisoblashlarni qo‘lda va dastur yordamida bajaring.