O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi samarqand davlat universiteti abdirashidov A., Babayarov A. I

1-misol.
Ushbu 
e
x
 
– 3
x
= 0 tenglamaning eng kichik musbat ildizini 

= 10
-4
aniqlik bilan toping. 

---

79 
Yechish.
Berilgan tenglamaning mumkin bo‘lgan musbat ildizlarini topish 
uchun uni 
e
x
 
= 3
x
ko‘rinishda yozib olamiz va 
y
= 
e
x
 
va 
y
= 3
x
funksiyalarning 
grafiklarini MS Excel dasturida quramiz (2.25-rasm). Rasmdan ko‘rinib turibdiki, u 
ikkita haqiqiy musbat ildizlarga ega, ulardan eng kichigi [0;1] kesmada, kattasi esa 
[1;2] kesmada yotibdi. 
2.23-rasm. Nyuton usulining blok-sxemasi. 
 
Eng kichik musbat ildiz uchun 
f
(
x
) = 
e
x
 
– 3
x
funksiya [0;1] kesmada a) uzluksiz 
va differensiallanuvchi (birinchi va ikkinchi hosilalari mavjud): 
f '
(
x
)= 
e
x
–3; 
f ''
(
x
)=
e
x
; 
b) birinchi hosila uzluksiz, o‘z ishorasini saqlaydi va nolga aylanmaydi, ya’ni 
f '
(
x
) < 

---

80 
0; c) ikkinchi hosila uzluksiz, o‘z ishorasini saqlaydi, ya’ni 
f ''
(
x
) > 0. Demak, 
f
(0)

 
f
(1) < 0 bo‘lganligi uchun [0;1] kesmada oddiy ildiz mavjud. 
Dastlabki yaqinlashishni 
x
0
= 0 deb tanlab olamiz, chunki
f
(0) = 1 > 0;
f
''(0) = 1 > 0;
f
(1) = 
e
–3 < 0;
f
''(1) = 
e
> 0 
va bu yerdan 
f
(0)

f
''(0) = 1 > 0. Keyingi yaqinlashishlarni ushbu 
3
3
1





n
n
x
n
x
n
n
e
x
e
x
x
,
n
= 0, 1, 2, …
formuladan topamiz. Bu hisoblashlar quyidagi yaqinlashishlarni beradi: 
x
1
= 0,5;
x
2
= 
0,61;
x
3
= 0,619;
x
4
= 0,61909. Iteratsion jarayonning tugallanish shartiga ko‘ra 

n
= 
|
x
n
+1
– 
x
n
| = 0,61909 – 0,619 = 0,00009 bo‘lganligidan izlanayotgan ildizni 
619
,
0

x
deb qabul qilamiz. 
a
)
 
b
) 
2.24-rasm. Nyuton usulining geometrik interpretatsiyasi:
a
) 
0
)
(
)
(




x
f
x
f
;
b
) 
0
)
(
)
(




x
f
x
f
. 
2-misol.
Ushbu
x
3
– 2
x
2
– 2
x
– 1,2 = 0 tenglamaning [2,3] kesmadagi ildizini 
Nyuton usuli bilan
 

= 10
-4
aniqlikda Maple dasturining paketidan foydalanib toping. 
Yechish. 
Dastur matni va uning natijalari quyidagicha (2.26-rasm): 
>with
(
Student
[
NumericalAnalysis
]): 
>
f
:=
 x
3
– 2
x
2
– 2
x
– 1.2: 
>
fsolve
(
f
); 

---

81 
2.849623804 
>
Newton
(
f
,
x
=2,
tolerance
=10
-4
); 
2.849623824 
>
 Newton
(
f
,
x
=2,
tolerance
=10
-4
, 
outpout=sequence
); 
2., 4.600000000. 3.564345404 3.036093590 2.867439650 2.849810459 2.849623824 
2.25-rasm. Tenglamaning haqiqiy eng kichik ildizini MS Excel dasturida ajratish. 
>
 Newton
(
f
,
x
=[1,1.5],
tolerance
=10
-4
, 
stoppingcriterion=absolute
); 
2.849623805 
>
 Newton
(
f
,
x
=2,
 outpout=plot
, 
stoppingcriterion=function_value
); 
2.26-rasm. Tenglamaning haqiqiy ildizini Nyuton usuli bilan
 
topish. 
y 
x 
y=e
x 
y=
3
x
 
x

---

82 
3-misol.
Ushbu
 e
x
+ 2
-
x
+ 2cos
x
– 6 = 0 tenglamaning [0;

] kesmadagi ildizini 
Nyuton usuli yordamida 

 
= 0,001 aniqlik bilan Maple dasturining interactive 
paketidan foydalanib toping. 
Yechish. 
Dastur matni va interactive oynasi (2.27-rasm): 
>with
(
Student
[
Calculus1
]): 
>
NewtonMethodTutor
(
e
x
+ 2
-
x
+ 2

cos
x
– 6,
x
=0..4); 
2.27-rasm. Tenglamaning haqiqiy ildizini Nyuton usuli bilan
 
Maple dasturining 
interactive paketidan foydalanib topish. 
 
Mashqlar 
Quyida berilgan tenglamalarni Nyuton usuli bilan yeching (bunda 
a
, 
b
, 
c
, 

parametrlarni o‘zingiz har xil qilib tanlash orqali turli variantlar hosil qiling): 
1. 
0
)
(
2



cx
b
ax
tg
; 
a 
= 3.01; 
b 
= 4; 
c 
= –1; 

= 10
-3
. 
2. 
0
sin
3



cx
bx
ax
; 
a 
= 2.23; 
b 
= –3.14; 
c 
= 1.02; 

= 6

10
-4
. 
3. 
0
)
(
2




c
bx
a
x
; 
a 
= –2.13; 
b 
= 1.47; 
c 
= –4.12; 

= 10
-5
. 
4. 
0
14
)
(
2



c
bx
ax
; 
a 
= 3.23; 
b 
= 1.2; 
c
= 3.22; 

= 4

10
-4
. 
5. 
0
sin
)
(
3



x
c
b
a
x
; 
a 
= –3.21; 
b 
= –1.45; 
c 
= 2.12; 

= 2

10
-4
. 
6. 
0
lg
sin


x
b
x
a
; 
a 
= 2.06; 
b 
= –1.06; 

= 4

10
-5
. 
7. 
0
cos



cx
b
c
bx
a
; 
a 
= 2.07; 
b 
= 1.16; 
c 
= 1.02;

= 2

10
-5
. 
8. 
0
2
3




x
c
b
ax
; 
a 
= 1.11; 
b 
= –10.11; 
c
=–2.03; 

= 7

10
-5
. 

---

83 
Izoh:
Dastlab funksiyaning grafigini matematik paketlardan birida (Maple, 
Matlab, Mathcad, Mathematica va boshqa) yoki MS Excel dasturida chizing, haqiqiy 
ildizlar yotgan oraliqlarni aniqlab oling, hisoblashlarni qo‘lda va dasturda bajaring. 
Kesuvchilar usuli. 
Nyuton usulida 
f
(
x
) funksiyaning hosilasini hisoblash hamma vaqt ham qulay 
emas yoki ba’zida buning imkoni bo‘lmaydi. Ana shu holda ikkita ketma-ket 
iteratsiyaning qiymatlaridan foydalanib, birinchi hosilani ayirmali ifodasiga (ya’ni 
urinmani kesuvchiga) almashtirish orqali kesuvchilar usuliga kelinadi. Analitik 
usullar nuqtai nazaridan approksimatsiyalovchi sifatida oxirgi ikkita 
x
n
va 
x
n
-1
nuqtalar orqali o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq olinadi, ya’ni urinmalar usulidagi hosila o‘rniga 
quyidagi ifoda olinadi: 
1
1
)
(
)
(
)
(
'





n
n
n
n
x
x
x
f
x
f
x
f
, 
u holda kesuvchilar usulining formulasi quyidagicha yoziladi: 
)
(
)
(
)
(
1
1
1
n
n
n
n
n
n
n
x
f
x
f
x
f
x
x
x
x







. 
Bu yerdan ko‘rinib turibdiki, kesuvchilar usuli ikki qadamli usul, ya’ni u ikkita 
boshlang‘ich nuqtalarning berilishini talab qiladi.
Usulning geometrik talqini 
2.28-
rasmda tasvirlangan. Dastlab tanlab olingan 
ikkita (
x
0
,
f
(
x
0
)) va (
x
1
,
f
(
x
1
)) nuqtalar orqali 
to‘g‘ri 
chiziqni 
absissa 
o‘qi 
bilan 
kesishgunga qadar o‘tkazamiz va bu 
kesishish 
nuqtasining 
absissasi 
x
2
funksiyaning 
f
(
x
2
) qiymatini beradi. Endi 
bunday to‘g‘ri chiziqni (
x
1
,
f
(
x
1
)) va (
x
2
,
f
(
x
2
)) 
nuqtalar orqali o‘tkazib, navbatdagi 
x
3
nuqtani topamiz va hokazo. Bu hisoblashlar 
Nyuton usulida keltirilgan uchta iteration 
jarayonlardan birortasi bajarilgunga qadar 
davom ettiriladi. 
2.28-rasm. Kesuvchilar usulining 
geometrik talqinini ifodalovchi 
chizma. 
Ba’zi adabiyotlarda kesuvchilar usulini 
vatarlar usulining takomillashtirilgan 
holi 
deb ham atashadi.
Kesuvchilar usuli ikki qadamli usul hisoblanadi. 
Usulning qulayliklari
: odatda, kesuvchilar usulida iteratsiyalar soni urinmalar 
usuliga qaraganda ko‘proq bo‘ladi, ammo bunda har bir iteratsiya tezroq bajarilib 
boradi, chunki kesuvchilar usulida 
f '
(
x
) hosilani hisoblash talab etilmaydi; shuning 
uchun kesuvchilar usulida iteratsiyalar sonining ortib borishi bilan yanada yuqoriroq 
aniqlikdagi yechim topilishiga erishilib boriladi. 

---

84 
Usulning kamchiliklari
: iteratsiyalarning yaqinlashishi nafaqat ildizdan uzoq 
nuqtalarda, balki uning kichik atrofida ham monoton bo‘lmasligi mumkin; hisob 
formulasidagi maxrajda turgan farq ildizdan uzoqroqda uncha ahamiyat kasb 
etmasligi mumkin, ammo ildiz atrofida funksiyaning qiymati juda kichik va ular bir 
biriga juda yaqin bo‘lganligi uchun ifodada bu ayirma nolga bo‘linishga olib keladi, 
ya’ni aniqlik yo‘qoladi. 
Usulning algoritmi
: 
1. [
a
,
b
] kesmani va 

aniqlikni berish. 
2. Dastlabki ikkita yaqinlashish 
x
0
va 
x
1
berish. 
3. 
x
2
ni approksimatsiya formulasi bo‘yicha hisoblash. 
4. Funksiyaning shu nuqtadagi qiymatini hisoblash. 
5. Berilgan aniqlikni tekshirib ko‘rish; agar u bajarilsa hisobni to‘xtatish, aks holda 
navbatdagi qadamga o‘tish. 
6. 
x
0
ni 
x
1
bilan va 
x
1
ni 
x
2
bilan almashtirish va 3-qadamga o‘tish. 
1-misol. 
Ushbu 
x
3
– 
x
+ 1 = 0 tenglamaning ildizini kesuvchilar usuli yordamida 

= 0,001 aniqlik bilan toping. 
Yechish. 
Hisoblashlarni usulning formulasiga ko‘ra bajarib, natijalarni jadval 
ko‘rinishida ifodalaymiz: 
n 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
x
n 
–2,00000 –1,56934 –1,41871 –1,34211 –1,32613 –1,32474 –1,32472 

x
n
–
x
n
-1

– 
0,43066 0,15063 
0,07660 0,01598 0,00139 
0,00002 
2-misol. 
Ushbu cos
x
– 
x
= 0 tenglamaning [0,5; π/4] kesmadagi ildizini vatarlar, 
Nyuton, kesuvchilar usullari bilan Maple dasturining paketlari yordamida taqribiy 
toping va natijalarni taqqoslang. 
Yechish. 
Dastur matni (dastur natijalarini jadval shaklida keltiramiz): 
with
(
Student
[
NumericalAnalysis
]): 
f
:=cos(
x
) – 
x
; 
FalsePosition
(
f
,
x
= [0.5,π/4], 
tolerance
= 10
-8
, 
output= sequence,maxiterations
= 20); 
Newton
(
f
,
x
= π/4, 
tolerance
= 10
-8
, 
output = sequence,maxiterations
= 20); 
Secant
(
f
,
x
= [0.5,π/4], 
tolerance
= 10
-8
, 
output= sequence,maxiterations
= 20); 
n 
Vatarlar usuli 
Kesuvchilar usuli 
Nyuton usuli 
0 
0.5 
0.5 
0.7853981635 
1 
0.7853981635 
0.7853981635 
0.7395361337 
2 
0.7363841388 
0.7363841388 
0.7390851781 
3 
0.7390581392 
0.7390581392 
0.7390851332 
4 
0.7390848638 
0.7390851493 
5 
0.7390851305 
0,7390851332 
6 
0,7390851332 
Demak, Nyuton usuli tezroq yaqinlashishni berar ekan.