O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi samarqand davlat universiteti abdirashidov A., Babayarov A. I

X
= (1; 1) ni Broyden usuli yordamida aniqlang. 
Yechish.
Misolning yechimi jarayonini, iteratsiyalardagi 
)
,
(
k
k
k
y
x

X
ya-
qinlashishlarni quyidagi jadval shaklida ifodalaylik: 
K 
x
k 
y
k 
X
X

k
 
0 
2,000000000 
2,000000000 
1,414213562 
1 
1,694513211 
0,889023252 
0,703323850 
2 
1,532940994 
0,835742461 
0,557679695 
3 
1,330935487 
0,770464391 
0,402746685 
4 
1,251500757 
0,804076528 
0,318808151 
5 
1,139841409 
0.866849425 
0.193092452 
6 
1.087198127 
0.913245001 
0.123003835 
7 
1.039140157 
0.958904664 
0.056751903 
8 
1.016525113 
0.982554663 
0.024029547 
9 
1.003700722 
0.996037640 
0.005421774 
10 
1.000537288 
0.999428320 
0.000784536 
11 
1.000005832 
0.999993444 
8.774735736E-6 
12 
1.000000808 
0.999999157 
1.167386327E-6 
13 
0.999999806 
1.000000202 
2.795316564E-7 
14 
1.000000000 
1.000000000 
3.994662952E-10 
Jadvaldan ko‘rinadiki, bu misolning natijasiga Nyuton usuli bilan 8 qadamda er-
ishilgan edi. Bu esa Broyden usulining iteratsiya tezligi Nyuton usulinikidan past 
ekanligini ko‘rsatadi. Shunga qaramasdan, Broyden usuli ommabop bo‘lib, hisoblash 
amaliyotida keng qo‘llanilib kelinmoqda. 
3.11. Tezkor tushish usuli (gradiyentlar usuli) 
Yuqoridagi (3.1) tenglamalar sistemasini qaraymiz. Faraz qilaylik, 
i
f
funksiya-
lar o‘zlarining umumiy aniqlanish sohasida haqiqiy va uzluksiz differensial-
lanuvchan. Quyidagi funksiyani qaraymiz: 
 
 
 
 


2
1
,
n
i
i
U x
f x
f x
f x








. 
Ravchanki, (3.1) sistemaning har bir yechimi 
U
(
x
) funksiyani nolga aylantiradi; 
va aksincha 
U
(
x
) funksiya nolga teng bo‘ladigan 
1
2
,
,
,
n
x x
x
sonlar (3.1) sisteman-
ing ildizlari. 

---

133 
Faraz qilamizki, (3.1) sistema izolyatsiyalangan yechimgagina ega bo‘lib, bu 
yechim 
U
(
x
) funksiyaning qat’iy minimum nuqtasi bo‘lsin. Bu bilan masala 
n
o‘lchovli fazoda 
U
(
x
) funksiyaning minimumini topishga olib kelinadi. 
Faraz qilaylik, 
x

(1) sistemaning vektor-ildizi, 
 
0
x
esa uning boshlang‘ich ya-
qinlashishi bo‘lsin. 
 
0
x
nuqta orqali 
U
(
x
) funksiyaning sath sirtini o‘tkazamiz. Agar 
 
0
x
nuqta 
x
ildizga yetarlicha yaqin bo‘lsa, u holda bizning farazimiz bo‘yicha sath 
sirti 
 
 
 
0
U x
U x

ellipsoidga o‘xshash. 
 
0
x
nuqtadan boshlab 
 
 
 
0
U x
U x

sirt normali bo‘ylab harakatlanib, bu 
harakatni shu normal qaysidir boshqa bir 
 
 
 
1
U x
U x

sath sirtiga biror 
 
1
x
nuqtada urinmaguncha davom ettiramiz. Keyin yana 
 
1
x
nuqtadan harakatni 
 
 
 
1
U x
U x

sath sirti bo‘ylab davom ettirib, bu harakatni shu normal boshqa bir 
yangi 
 
 
 
2
U x
U x

sath sirtiga biror 
 
2
x
nuqtada urinmaguncha davom ettiramiz 
va hokazo. Vaholanki, 
 
 
 
 
 
 
0
1
2
U x
U x
U x



bo‘lsa, u holda biz shu yo‘l bi-
lan harakatlanib, 
U
(
x
) ning (3.1) sistemaning izlanayotgan 
x
ildiziga mos keluvchi 
eng kichik qiymatli nuqtasiga tezkor yaqinlashib boramiz. Ushbu 
 
1
n
U
x
U x
U
x









  








– 
tuzilgan 
 
U x
funksiyaning gradiyenti belgilashini kiritib, 
0
1
1
2
,
,
OM M OM M
vektorli uchburchaklardan quyidagini yozamiz (xususiy holda 3.10-rasmga qarang): 


 
 
 
1
p
p
p
p
x
x
U x



 
,


0,1, 2,
p

. 
Endi 
p

ko‘paytuvchin aniqlash qoldi. Buning uchun quyidagi skalyar funksi-
yani qaraymiz: 
 
 
 
p
p
p
U x
U x






 


. 
Bu 
 


funksiya 
U
funksiya sathining 
 
p
x
nuqtadagi sath sirtiga o‘tkazilgan 
normalga mos keluvchi o‘zgarishini beradi. 
p
 

ko‘paytuvchini shunday tanlash 
lozimki, 
 


funksiya minimumga erishsin. Bu funksiyadan 

bo‘yicha hosila 
olib, uni nolga tenglashtiramiz. Unda quyidagi tenglamani hosil qilamiz: 
 
 
 
 
0
p
p
p
d
U x
U x
d








 





.
(3.40) 

---

134 
(3.40) tenglamaning eng kichik musbat ildizi bizga 
p

ning qiymatini beradi. 
Endi 
p

sonni taqribiy topish usulini qarab chiqaylik. Faraz qilamizki, 


kichik 
parametr bo‘lib, uning kvadrati va undan yuqori darajalarini e’tiborga olmaslik mum-
kin. U holda quyidagiga kelamiz: 
 
 
 
 


2
1
n
p
p
i
i
f
x
U x







 





. 
i
f
funksiyani 

ning chiziqli hadlariga-
cha aniqlikdagi darajalariga yoyib, quyidagiga 
ega bo‘lamiz:
 
 
 
 
 
 
2
1
p
n
i
p
p
i
i
f x
f
x
U x
x






























, 
bu yerda
1
2
,
,
,
i
i
i
i
n
f
f
f
f
x
x
x
x






 







. 
Bulardan 
3.10-rasm. Ikki o‘zgaruvchili 
funksiya holida gradiyentlar usulin-
ing geometrik talqini. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1
2
0
p
p
n
i
i
p
p
p
i
i
f x
f x
f x
U x
U x
x
x











 














. 
Natijada, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


 
 
 
 


 
 
 
 


1
2
1
,
,
p
n
i
p
p
p
p
p
i
i
p
p
p
p
p
p
n
i
p
i
f x
f x
U x
f x
W x
U x
x
W x
U x
W x
U x
f x
U x
x


























, 
bu yerda 
 
i
W x
f
x
  

vektor-funksiya 
f
ning Yakob matritsasi. 
Yuqoridagilardan quyidagi tenglikka kelamiz: 
 
   
2
1
1
2
n
n
i
i
i
i
i
j
j
j
f x
U
f x
f x
x
x
x






















. 
Bu yerdan esa 
 
   
   
   
1
1
1
2
2
n
i
i
i
n
i
i
i
n
f x
f x
x
U x
W x f x
f x
f x
x

























, 
bu yerda 
 
W x


transponirlangan Yakob matritsasi. 
Shularga ko‘ra quyidagi natijaga kelamiz: 

---

135 
 


 
 


,
2
,
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
f
W W f
W W f
W W f







,(3.41) 
bu yerda soddalik uchun quyidagicha yo-
zuv qabul qilingan: 
 
 
 
p
p
f
f x

;
 
 
p
p
W
W x

, 
bularga ko‘ra 


 
 
1
p
p
p
p
p
x
x
W f





, 


0, 1, 2,
p

.
(3.42) 
Gradiyent usuli algoritmining blok-
sxemasi
 
3.11-rasmda tasvirlangan.
 
1-misol.
Tezkor tushish usili (gradi-
yent usuli) yordamida ushbu 
2
2
2
2
0,1;
3
0, 2;
2
0,3.
x
x
yz
y
y
xz
z
z
xy







 






tenglamalar sistemaning koordinata boshi
atrofida 
yotgan 
ildizlarini 
taqribiy 
hisoblang.