O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi samarqand davlat universiteti abdirashidov A., Babayarov A. I

Matematik paketlar va MS Excel dan foydalanib, formulalar bo‘yicha taqribiy 
hisoblashlarni bajarishga oid namunaviy misollar va ularning yechimlari 
1-misol.
Hisoblashlar jarayonida biror miqdorlarning quyidagi taqribiy 
qiymatlari olingan: 
a
= 5,256; 
b
= 2,892. Agar ularning chin qiymatlari 
A
= 5,158 va 
B
= 2,814 bo‘lsa, u holda bu natijalardan qaysi biri aniqroq ekanligini aniqlang. 
Yechish: 
Berilgan sonlarning absolyut xatoliklari hisoblaylik: 
 

(
a
) =

a
–
A

=

5,256–5,158

0,098 ;

(
b
)
 =

b
–
B

=

2,892–2,814

0,078 . 
Endi ularning nisbiy xatoliklarini hisoblaylik: 

(
a
)= 

(
a
) /

a

= 0,098/5,256 = 0,018645 = 1,86%; 

(
b
)= 

(
b
) /

b

= 0,078/2,892= 0,026971 = 2,7%. 
Shunday qilib, 

(
a
)< 

(
b
) ekan, demak birinchi soning taqribiy qiymati aniqroq.
 
Hisoblashlarni Maple matematik paketida tekshiramiz: 
> 
with
(
Student
[
NumericalAnalysis
]):
a
:=5.158:
A
:=5.256:

a
:=
AbsoluteError
(
a
,
A
);

a
:=RelativeError(
a
,
A
); 
b
:=5.158:
B
:=5.256:

b
:=
AbsoluteError
(
b
,
B
);

b
:=
RelativeError
(
b
,
B
); 

a
:=0.098

a
:=0.01864535769

b
:=0.078

b
:=0.02697095436 
Agar natijalarni yaxlitlash lozim bo‘lsa, u holda: 

a
:=
AbsoluteError
(
a
,
A,digits=6
);

a
:=RelativeError(
a
,
A,digits=7
); 
2-misol.
Quyidagi tengliklardan qaysi biri aniqroq ekanligini aniqlang:
a
= 9/11 = 0,818;
b
= 
18
= 4,24. 
Yechish.
Berilgan ifodalarning qiymatlarini kattaroq aniqlikda topaylik: 
A 
= 0,81818…;
B 
= 4.2426… . 
Endi ularning absolyut xatoliklarini hisoblaylik:

a
–
A

=

0,81818–0,818

0,00018 = 

(
a
);

b
–
B

=

4,2426–4.24

0,0026 = 

(
b
). 
Ularning nisbiy xatoliklarini hisoblaylik: 

(
a
) = 

(
a
) /

a

= 0,00019/0,818 = 0,00022 = 0,022%; 

(
b
) = 

(
b
) /

b

= 0,0027/4,24 = 0,000623 = 0,062%. 
Shunday qilib, 

(
a
) <

(
b
) ekan, demak 9/11 = 0,818 tenglik aniqroq. 
Bu hisoblashlarni MS Excel dasturida bajaramiz (1.6-rasm): 
Boshlang‘ich ma’lumotlar 
C2:C3
, 
E2:E3
yacheykalarga yoziladi. Absolyut 
xatolar: 
C4
yacheykada 

a
–
A

ning qiymati 
(=ABS(C2-C3)
), 
E4
yacheykada 

b
–
B

ning qiymati 
(=ABS(E2-E3)
) hisoblanadi. Nisbiy xatolar: 
C5
yacheykada 

(
a
) 
/

a

ning qiymati (
=C4/ABS(C2)
), 
E5
yacheykada 

(
b
)/

b

ning qiymati 
(
=E4/ABS(E2)
) hisoblanadi. 
C6
yacheykaga 
C5
ning, 
E6
yacheykaga 
E5
ning foiz 

---

40 
miqdori 
o‘tkaziladi. 
Xulosa: 
C6
va 
E6
yacheykalar 
taqqoslanadi 
(=ЕСЛИ(C6>E6),A,B
). 
1.6-rasm. Taqribiy miqdorlarning nisbiy xatoliklarini baholash. 
3-misol. 
Ushbu 
a
c
b
a
x



3
funksiyaning 
02
,
0
34
,
1


A
, 
05
,
0
98
,
7


B
, 
1
,
0
74
,
52


C
qiymatlar uchun 
a
) 

x
– chegaraviy absolyut xatolikni toping; 
b
) 

(
x
) 
– absolyut xatolikni toping; 
c
) 

(
x
) – nisbiy xatolikni hisoblang; 
d
) 

x
– chegaraviy 
nisbiy xatolikning qiymatini baholang. Hisoblashlarni MS Excel dasturida bajaring.
 
Yechish.
a
) Dastlab berilgan 
x
funksiya uchta 
a
, 
b
, 
c
o‘zgaruvchilarning 
funksiyasi. Chegaraviy absolyut xatolikni baholash uchun quyidagi formuladan 
foydalanamiz: 
c
b
a
x
c
x
b
x
a
x













. 
Berilgan 
a
c
b
a
x



3
funksiyaning xususiy hosilalarini topamiz: 
,
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
]
,
[
2
3
2
3
3
2
3
3
a
c
b
c
a
c
b
a
a
c
b
a
c
a
c
b
a
a
c
b
a
const
c
b
a
x
a
a




















 
,
3
1
)
(
)
(
]
,
[
3
3
b
a
c
a
b
a
c
a
const
c
a
b
x
b










.
)
(
)
(
1
1
]
,
[
2
3
2
3
3
a
c
b
a
a
c
b
a
a
c
b
a
const
b
a
c
x
c























MS Excel jadvalining 
A2:B7
yachykalari blokiga boshlang‘ich ma’lumotlarni 
kiritamiz (1.7-rasm). 
C2:C7
yacheykalarda 
a
x


, 
b
x


, 
c
x


- xususiy hosilalarning 
qiymatlari hisoblanadi. Chegaraviy absolyut xatolikni hisoblash uchun 
F9
yacheyka-
da ushbu 
c
b
a
c
x
b
x
a
x












formula yoziladi. 

---

41 
b
) 
D2:D7
yacheykalarda o‘zgaruvchilarning yuqori bahosi qiymatlarini 
hisoblaymiz: 

a
+
= 
a
+

(
a
)=1,34+0,02 (
=A3+B3
), xuddi shunday, 

b
+
= 
b
+

(
b
) 
(
=A5+B5
) va 

c
+
= 
c
+

(
c
) (
=A7+B7
) larni ham. 
B9
yacheykada funksiyaning yuqori 
bahosi qiymatini hisoblaymiz: 













a
c
b
a
x
3
. Xuddi shunday, funksiyaning 
quyi bahosi qiymatini 
E2:E7 
yacheykalardagi 

a
-
= 
a 
– 

(
a
) = 1,34–0,02, 

b
-
= 
b 
–

(
b
), 

c
-
= 
c 
– 

(
c
) qiymatlardan foydalanib
B10
yacheykada hisoblaymiz: 













a
c
b
a
x
3
. 
Funksiyaning 
absolyut 
xatoligi 
qiymati 
ushbu 







x
x
x
2
1
)
(
formuladan 
F11
yacheykada topiladi. Topilgan absolyut xatolik 
(
F11 yacheyka
) chegaraviy absolyut xatolik (
F9 yacheyka
) dan katta bo‘lmasligi 
kerak, ya’ni 
x
x



)
(
. 
1.7-rasm. Absolyut va nisbiy xatolikni baholash. 
 
c
) Ushbu boshlang‘ich ma’lumotlardan 
B11
yacheykada 
x
funksiyaning qiymati 
topiladi, 
F11
yacheykada esa yuqorida topilgan 

(
x
) absolyut xatolikdan foydalanib 
uning 

(
x
) nisbiy xatoligi hisoblanadi. 
d
) Berilgan funksiyaning chegaraviy nisbiy xatoligini yuqorida keltirilgan for-
mulalarga ko‘ra quyidagicha ifodalaymiz: 
.
3
1
3
1
3
1
3
a
c
b
a
a
c
b
a
a
c
b
a
a
c
b
a
a
c
b
a
a
c
b
a
x



































---

42 
Ushbu formula 
F12
yacheykaga yoziladi, nisbiy xatolik chegaraviy nisbiy xatolikdan 
oshib ketmaganligiga ishonch hosil qilinadi, ya’ni 
x
x



)
(
. 
4-misol. 
Arifmetik amallar xatoligini Mathcad matematik paketidan foydalanib 
toping.
Yechish. 
Faraz qilaylik, 
x
va 
y
sonlar 

x
va 

y
absolyut xatoliklari bilan beril-
gan:
 
x : = 2.5378 x : = 0.0001 y : = 2.536 y : = 0.001 
U holda ularning nisbiy xatoliklari: 
x: = 3.94 x 10
-5
y: = 3.94 x 10
-4
Bu sonlar yig‘indisi va ayirmasining xatoliklarini topamiz:
 
S1 : = x + y S1 : = x + y
S1 = 5.0738 S1 = 1.1 x 10
-3
S1 = 2.17 x 10
-4
S2 : = x - y S2 : = x + y
S2 = 1.8 x 10
-3
S2 = 1.1 x 10
-3
S2 = 0.61 
Demak, ayirmaning nisbiy xatoligi yig‘indining nisbiy xatoligiga qaraganda 
2000 marta katta.
Endi 
x
va 
y
ning boshqa qiymatlarida ko‘paytma va bo‘linmaning xatoligini 
hisoblaymiz: 
x : = 2.5378 x : = 0.0001 y : = 0.006 y : = 0.001 
Sonlarning nisbiy xatoliklari: 
S3 = 0.015227 S4 = 422.966667 
S3 : = x + y S4 : = x + y 
S3 : = | S3 | x S3 S4 : = | S4 | x S4 
S3 = 6.604259 x 10
-6
S4 = 0.183452