O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi samarqand davlat universiteti abdirashidov A., Babayarov A. I

 
3.4. Nyuton-Rafson usuli 
Bu usul nochiziqli tenglamalar sistemasini 
yechish uchun Nyuton usulining takomillashtirilgan 
variantlaridan biri hisoblanadi. 
Faraz qilaylik, (3.1) yoki (3.1

) nochiziqli teng-
lamalar sistemasi berilgan bo‘lsin. Iteratsion formulani 
 
3.5-rasm. Nyuton usuli mo-
difikatsiyasining algoritmi. 
hosil qilishimiz uchun 
f 
= (
1
2
,
,
,
n
f
f
f
) vektor-funksiya komponentalari bo‘lgan 
1
2
,
,
,
n
f f
f
funksiyalarning Teylor qatoriga yoyilmasining ularning birinchi tarti-
bligacha hosilasini o‘z ichiga olgan hadlari bilan cheklangan holini olamiz: 
.
0
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
,
0
...
,
0
...
)
1
(
)
(
)
1
(
1
1
)
(
)
(
)
1
(
)
(
2
)
1
(
1
1
)
(
2
)
(
2
)
1
(
)
(
)
1
(
1
1
)
(
)
(
1
1
1




































k
n
n
k
n
k
k
n
k
n
k
n
n
k
k
k
k
k
n
n
k
k
k
k
x
x
f
x
x
f
f
x
x
f
x
x
f
f
x
x
f
x
x
f
f
 
Bu yerda 
)
...,
,
,
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
k
k
k
j
k
j
n
x
x
x
f
f

; 
)
(
)
1
(
)
1
(
k
j
k
j
k
j
x
x
x





, (
j
=1,…
n
). 
Bu tenglamalar sistemasini matritsa ko‘rinishida quyidagicha yozish mumkin: 

---

119 

































































































)
(
)
(
2
)
(
1
)
1
(
)
1
(
2
)
1
(
1
)
(
2
)
(
1
)
(
)
(
2
)
(
2
1
)
(
)
(
2
)
(
1
1
)
(
.
.
.
.
.
.
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
2
2
1
1
k
n
k
k
k
n
k
k
n
k
k
n
k
n
k
k
k
n
k
k
k
f
f
f
x
x
x
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
x
f
n
n
yoki buni belgilashlar bilan soddaroq qilib quyidagicha yozish ham mumkin: 
)
(
)
1
(
)
(
k
k
k
f
x
W




. 
Bu yerda ham xuddi yuqoridagidek, 
W
= 
W
(
x
) – Yakob matritsasi. 
Bu chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechib, 
)
1
(


k
x
ni aniqlaymiz: 
)
1
(
)
(
)
1
(





k
k
k
x
x
x
. 
Bu usulning algoritmi quyidagicha: 
1. 
x
(0)
- boshlang‘ich yaqinlashish va 

- hisob aniqligi beriladi. 
2. 


i
f
, (
i
=1,2,…,
n
) shart bajarilsa 6-qadamga o‘tiladi. 
3. 
W
– Yakob matritsasi hisoblanadi. 
4. 
W

x
= –
f
tenglamalar sistemasi yechiladi. 
5. 
x=x+

x
hisoblanadi va 2-qadamga o‘tiladi. 
6. 
x
natijalar pechatga chiqariladi. 
Nyuton-Rafson usulining nochiziqli tenglamalar sistemasini yechishga qo‘lla-
nilishidagi asosiy shart bu Yakob matritsasining teskarisini hisoblashning mumkin 
yoki mumkin emasligida. Xususan, 
W
-1
ning taqribiy qiymatini quyidagicha hisob-
lash mumkin. Faraz qilaylik, 
W
-1
– Yakob matritsasining 
k
-iteratsiyadagi teskari mat-
ritsasi bo‘lsin. (
k
+1)-iteratsiyadan keyin Yakob matritsasi quyidagicha hisoblanadi: 
1
1
1
1
1








k
k
k
k
k
W
W
W
W
W
. 
Bu yondashuv hamma vaqt ham aniq emas va u bir qator kamchiliklarga ega. 
Ammo amaliyotdagi ko‘plab masalalarda bu oxirgi formula Yakob matritsasini 
hisoblashni ancha osonlashtiradi. 
3.5. Iteratsiyalar usuli (ketma-ket yaqinlashishlar usuli) 
Yuqoridagi (3.1) nochiziqli tenglamalar sistemasi ushbu 










)
...,
,
,
(
...
...
...
...
...
...
...
...
),
...,
,
,
(
),
...,
,
,
(
2
1
2
1
2
2
2
1
1
1
n
n
n
n
n
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x



(3.15) 

---

120 
ko‘rinishga keltirilgan bo‘lsin, bu yerda 
1
2
,
,
,
n
 

- haqiqiy funksiyalar bo‘lib, 
ular bu sistema izolyatsiyalangan 


1
2
,
,
,
n
x x
x



yechimining biror atrofida 
aniqlangan va uzluksiz. 
Qulaylik uchun quyidagi vektorni kiritamiz: 


n
x
x
x
,...,
,
2
1

x
va


)
(
),...,
(
),
(
)
(
2
1
x
x
x
x
n





. 
U holda (3.15) ni quyidagi vektor shaklida yozish mumkin: 
x
=
φ
(
x
). 
(3.16) 
(3.16) tenglamaning 


1
2
,
,
,
n
x
x x
x





vektor-ildizini topish uchun 
ko‘pincha quyidagi 
iteratsiyalar usuli
ni qo‘llash juda qulay: 
)
(
)
(
)
1
(
k
k
x
x



yoki














),
...,
,
,
(
...
...
...
...
...
...
...
...
),
...,
,
,
(
),
...,
,
,
(
)
(
)
(
2
)
(
)
1
(
)
(
)
(
)
(
2
)
1
(
)
(
)
(
)
(
1
)
1
(
1
2
1
2
2
1
1
k
k
k
n
k
k
k
k
k
k
k
k
k
n
n
n
n
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x



0,1, 2,
k

, (3.17) 
bu yerda yuqoridagi indeks iteratsiyalar yaqinlash-
ishi nomerini bildiradi; 
*
)
0
(
x
x

- boshlang‘ich 
yaqinlashish. Usulning blok-sxemali algoritmi 3.6-
rasmda tasvirlangan. Agar (3.17) iteratsion jarayon 
yaqinlashivchan bo‘lsa, u holda ushbu 
)
(
lim
k
k
x




(3.18) 
limitik qiymat (3.17) tenglamaning ildizi bo‘ladi. 
Haqiqatdan ham, agar (3.18) munosabat ba-
jarilgan desak, u holda (3.17) tenglikda 
k
 
bo‘yicha limitga o‘tib, 
 
x

funksiyalarning 
uzluksizligidan quyidagiga ega bo‘lamiz: 












)
(
)
1
(
lim
lim
k
k
k
k
x
x

, ya’ni 
 
  

. 
Shunday qilib, 


bu (3.16) vektor tenglama-
ning ildizi. Agar, bundan tashqari, barcha 
)
(
k
x


0,1,
k

yaqinlashishlar biror 

- sohaga 
tegishli bo‘lsa, u holda 
*
x


ekanligi yaqqol 
ko‘rinadi. Soddaroq qilib aytganda, (3.17) iter-
atsion jarayon 
)
0
(
x
= 


)
0
(
)
0
(
)
0
(
...,
,
,
2
1
n
x
x
x

boshlan- 
 
3.6-rasm. Nochiziqli tengla-
malar sistemasini yechish 
uchun iteratsiyalar usulining 
blok-sxemali algoritmi. 

---

121 
g‘ich yaqinlashishdan boshlanib, bitta iteratsiyadan keyin barcha argumentlar orttir-
masining moduli berilgan 
ε
miqdordan kichik bo‘lmaguncha davom ettiriladi, ya’ni












)
(
)
1
(
1
)
(
)
1
(
max
k
i
k
i
n
i
k
k
x
x
x
x
. 
Bu shartga teng kuchli bo‘lgan quyidagi shartdan ham foydalanish mumkin: 






)
(
)
1
(
2
)
(
)
1
(
k
k
k
k
x
x
x
x














2
)
(
)
1
(
1
max
k
i
k
i
n
i
x
x
Oddiy iteratsiya usuli dasturlash uchun juda qulay, ammo u quyidagi muhim 
kamchiliklarga ega: 
a
) 
1
)
(




q
x

, bu yerda 

 

- vektor-funksiya 

ning Yakob matritsasi, 


belgi bilan esa matritsa normasi kiritilgan: 



)
(
x















n
j
j
i
n
i
x
1
1
max

; 
b
) 
1
)
(



q
l
x

, bu yerda 

 

- vektor-funksiya 

ning Yakob matritsasi, 
l

belgi bilan esa matritsa normasi kiritilgan: 


l
)
(
x















n
i
j
i
n
j
x
1
1
max

; 
c
) agar boshlang‘ich yaqinlashish aniq yechimdan uzoqroq tanlangan bo‘lsa, 
a
-
shartning bajarilishiga qaramasdan, usulning yaqinlashishiga kafolat yo‘q; 
demak, boshlang‘ich yaqinlashishni tanlashning o‘zi ham sodda emas ekan; 
d
) iteratsion jarayon juda sekin yaqinlashadi.