O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi samarqand davlat universiteti abdirashidov A., Babayarov A. I

 
Yechish.
Bu sistema uchun 

1
(
x
,
y
) va 

2
(
x
,
y
) funksiyalarni quyidagi ko‘rinishda 
izlaymiz: 
















).
(
)
1
(
)
,
(
),
(
)
1
(
)
,
(
3
2
2
2
3
2
2
1
y
x
y
x
y
y
x
y
x
y
x
x
y
x










,
,
,
noma’lim korffisiyentlarni topish uchun yuqorida taklif etilgan 
sistemaga kiruvchi xususiy hosilalar va ularning (
x
0
,
y
0
) nuqtadagi qiymatlarini 
hisoblaylik: 
;
2
1
x
x
f



;
6
,
1
)
,
(
0
0
1



x
y
x
f
;
2
1
y
y
f



;
1
,
1
)
,
(
0
0
1



y
y
x
f
;
3
2
2
x
x
f



;
92
,
1
)
,
(
0
0
2



x
y
x
f
;
1
2




y
f
;
1
)
,
(
0
0
2




y
y
x
f

---

127 
Bularga ko‘ra 




,
,
,
noma’lim korffisiyentlarga nisbatan quyidagi 
chiziqli algebraik tenglamalar sistemasiga kelamiz: 
















.
0
1
,
1
1
,
0
92
,
1
6
,
1
,
0
1
,
1
,
0
92
,
1
6
,
1
1








Buni yechib, quyidagilarga ega bo‘lamiz: 
.
4
,
0
;
3
,
0
;
5
,
0
;
3
,
0











Shunday qilib, 

1
(
x
,
y
) va 

2
(
x
,
y
) funksiyalarning quyidagi ifodalariga kelamiz: 
















).
(
4
,
0
)
1
(
5
,
0
)
,
(
),
(
3
,
0
)
1
(
3
,
0
)
,
(
3
2
2
2
3
2
2
1
y
x
y
x
y
y
x
y
x
y
x
x
y
x


Endi berilgan tenglamalar sistemasini taqribiy yechish uchun yaqinlashuvchan 
(3.22) iteratsiyalar formulasidan yoki quyida keltirilgan Zeydel usuli formulasidan 
foydalanish mumkin. 
3.7. Zeydel usuli 
Oddiy iteratsiya usulining iteratsion jarayon yaqinlashishini tezlashtirituchi 
modifikatsiyalaridan biri 
Zeydel usuli
bo‘lib, bu usulning asosiy formulasi 
quyidagicha ifodalanadi: 


















),
,
...,
,
(
...
...
...
...
...
...
...
...
),
...,
,
,
(
),
...,
,
,
(
)
(
)
1
(
1
)
1
(
)
1
(
)
(
)
(
)
1
(
2
)
1
(
)
(
)
(
)
(
1
)
1
(
1
2
1
2
2
1
1
k
k
n
k
n
k
k
k
k
k
k
k
k
k
n
n
n
n
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x



0,1, 2,
k

, (3.25) 
Bu iteratsion jarayon bilan bir qatorda ushbu 















0
)
,
...,
,
(
...
...
...
...
...
...
...
...
,
0
)
...,
,
,
(
,
0
)
...,
,
,
(
)
1
(
1
)
1
(
)
(
)
1
(
2
)
(
)
(
1
1
1
2



k
n
k
n
k
k
k
k
x
x
f
x
x
f
x
x
f
n
n
(3.26) 
iteratsion jarayonni qarab, yaqinlashish vektori komponentalarini shu tenglamalar 
sistemasidan topish mumkin. Bu tenglamalar sistemasining har birida bitta 

no-
ma’lum qatnashadi. Ana shu 

1
larning qiymatlari (26) tenglamalar sistemasining 
yangi birinchi 
)
1
(
1

k
x
= 

1
yaqinlashishi qiymati to‘plami bo‘lib xizmat qiladi. 
Navbatdagi 

2
lar esa ikkinchi yaqinlashishning qiymatlar to‘plamini beradi, ya’ni 
)
1
(
2

k
x
= 

2
va hokazo. Bu usulning qulayligi shundaki, uni bitta tenglama yechimini 

---

128 
topishga qo‘llash juda oddiy, ammo bu usul amaliyotda juda katta hajmdagi 
hisoblashlarni bajarishni talab qilishi mumkin. 
Xususiy hol
. Ikki noma’lumli ikkita nochiziqli tenglamalar sistemasini taqribiy 
yechish uchun ba’zi hollarda (3.22) iterasion hisoblash jarayoni o‘rniga quyidagi 
«Zeydel jarayoni»dan foydalanish juda qulay: 




.
,...
3
,
2
,
1
,
0
,
,
,
1
2
1
1
1









n
y
x
y
y
x
x
n
n
n
n
n
n


1-misol.
Quyidagi sistemani oddiy iteratsiya va Zeydel usullari bilan yeching: 












;
1
1
1
;
1
3
1
2
2
2
1
x
x
x
x















);
,
(
1
1
1
);
,
(
3
1
2
1
2
1
2
2
1
1
2
2
1
x
x
x
x
x
x
x
x


;
1
)
1
(
1
;
1
3
2
2
1
2
2
1
2
2
2
1
1
1








x
x
x
x
x
x








.
0
,
5
.
1
;
5
.
1
5
.
1
;
1
,
0
)
0
(
2
)
0
(
1
2
1
1








x
x
x
x
x
Yechish:
Oddiy iteratsiya usuli:
.
38
.
1
,
75
.
1
;
12
.
0
)
|
5
.
1
38
.
1
|
,|
65
.
1
75
.
1
|
max(
;
38
.
1
65
.
2
/
1
1
;
75
.
1
3
/
25
.
2
1
;
5
.
1
2
/
1
1
;
65
.
1
3
/
96
.
1
1
;
4
.
1
5
.
2
/
1
1
;
1
*
2
*
1
3
)
3
(
2
)
3
(
1
)
2
(
2
)
2
(
1
)
1
(
2
)
1
(
1































x
x
x
x
x
x
x
x
n

Zeydel usuli: 
.
39
.
1
,
61
.
1
;
14
.
0
|)
36
.
1
39
.
1
|
,|
75
.
1
61
.
1
|
max(
;
39
.
1
61
.
2
/
1
1
;
61
.
1
3
/
85
.
1
1
;
36
.
1
75
.
2
/
1
1
;
75
.
1
3
/
25
.
2
1
;
5
.
1
2
/
1
1
;
1
*
2
*
1
3
)
3
(
2
)
3
(
1
)
2
(
2
)
2
(
1
)
1
(
2
)
1
(
1































x
x
x
x
x
x
x
x
n

3.8. Parametrlarni qo‘zg‘atish usuli 
Bu usulning g‘oyasi quyidagicha. Dastlab (3.1) tenglamalar sistemasi bilan bir 
qatorda avvaldan uning yechimi ma’lum bo‘lgan quyidagi biror tenglamalar sistemasi 
qaraladi: 










.
0
)
...,
,
,
(
...
...
...
...
...
...
...
...
,
0
)
...,
,
,
(
,
0
)
...,
,
,
(
2
1
)
0
(
2
1
)
0
(
2
2
1
)
0
(
1
n
n
n
n
x
x
x
h
x
x
x
h
x
x
x
h
(3.27) 

---

129 
Bunga misol qilib chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini olish mumkin. (3.27) 
tenglamalar sistemasinining chap tarafini shunday o‘zgartiramizki, u biror 
K
songa 
nisbatan (3.1) tenglamaning chap tarafiga qo‘yilib, uni quyidagi ko‘rinishga keltirsin:








































,
1
)
...,
,
,
(
)
...,
,
,
(
)
...,
,
,
(
)
...,
,
,
(
...
...
...
...
...
...
...
...
,
1
)
...,
,
,
(
)
...,
,
,
(
)
...,
,
,
(
)
...,
,
,
(
,
1
)
...,
,
,
(
)
...,
,
,
(
)
...,
,
,
(
)
...,
,
,
(
2
1
)
(
2
1
2
1
)
(
2
1
)
1
(
2
1
)
(
2
2
1
2
2
1
)
(
2
2
1
)
1
(
2
2
1
)
(
1
2
1
1
2
1
)
(
1
2
1
)
1
(
1
K
k
x
x
x
h
x
x
x
f
x
x
x
h
x
x
x
h
K
k
x
x
x
h
x
x
x
f
x
x
x
h
x
x
x
h
K
k
x
x
x
h
x
x
x
f
x
x
x
h
x
x
x
h
n
k
n
n
n
n
k
n
n
k
n
n
k
n
n
k
n
k
n
k
n
n
k
n
k
(28) 
bu yerda 
k
= 0,1,…,
K
. Agar 
K
ning qiymati kattaroq tanlansa bu funksiyalar 
qiymatlarining ketma-ket o‘zgarishi kichrayib boradi. Har bir o‘zgartirishdan keyin 
parametrlari qo‘zg‘atilgan ushbu 













0
)
...,
,
,
(
...
...
...
...
...
...
...
...
,
0
)
...,
,
,
(
,
0
)
...,
,
,
(
2
1
)
1
(
2
1
)
1
(
2
2
1
)
1
(
1
n
k
n
n
k
n
k
x
x
x
h
x
x
x
h
x
x
x
h
(3.29) 
tenglamalar sistemasi iteratsion usullar bilan yechib boriladi. 
(3/27) tenglamalar sistemasining yechimi (3.29) uchun 
k 
= 0 da boshlang‘ich 
yaqinlash deb foydalaniladi. (3.29) tenglamalar sistemasining yechimi (3.27) sistema 
yechimidan kam farq qilganligi uchun iteratsion jarayonning yaqinlashishi 
ta’minlanadi deb hisoblashimiz mumkin. Shundan keyin olingan yechim (3.29) 
sistemaning 
k 
= 1 dagi boshlang‘ich yaqinlashishi deb qaraladi va hokazo. Oxiriga 
borib, 
k = K
-1 bo‘lganda hosil bo‘lgan (3.29) tenglamalar sistemasi dastlabki (3.1) 
tenglamalar sistemasiga ekvivalent bo‘lib qoladi. 
Shunday qilib, parametrlarni qo‘zgatish usulining boshlang‘ich yaqinlashishini 
tanlash masalasi yechiladi. 
Bu usulning noqulayligi shundaki, (3.27) tenglamalar sistemasini yechiladigan 
tenglamalar sistemasiga aylantirish katta hisob qadamlarini (hatto 10 dan 100 gacha) 
talab qilishi mumkin. Shuning ushun, bu usulning qo‘llanilishi mashinada juda katta 
hisob vaqtini talab qilishi mumkin. Bu usulning afzalligi shundaki, (3.28) sistema 
muvaffaqiyatli yechilganda (3.29) sistemaning yechimi bir necha iteratsiya qadam-
lardagina topilishi mumkin. 

---

130