133
Faraz
qilamizki, (3.1) sistema izolyatsiyalangan yechimgagina ega bo‘lib, bu
yechim
U
(
x
) funksiyaning qat’iy minimum nuqtasi bo‘lsin. Bu bilan masala
n
o‘lchovli fazoda
U
(
x
) funksiyaning minimumini topishga olib kelinadi.
Faraz qilaylik,
x
(1) sistemaning vektor-ildizi,
0
x
esa uning boshlang‘ich ya-
qinlashishi bo‘lsin.
0
x
nuqta orqali
U
(
x
) funksiyaning sath sirtini o‘tkazamiz. Agar
0
x
nuqta
x
ildizga yetarlicha yaqin bo‘lsa, u holda bizning farazimiz bo‘yicha sath
sirti
0
U x
U x
ellipsoidga o‘xshash.
0
x
nuqtadan boshlab
0
U x
U x
sirt normali bo‘ylab
harakatlanib, bu
harakatni shu
normal qaysidir boshqa bir
1
U x
U x
sath sirtiga biror
1
x
nuqtada urinmaguncha davom ettiramiz. Keyin yana
1
x
nuqtadan harakatni
1
U x
U x
sath sirti bo‘ylab
davom ettirib, bu harakatni shu normal boshqa bir
yangi
2
U x
U x
sath sirtiga biror
2
x
nuqtada urinmaguncha davom ettiramiz
va hokazo. Vaholanki,
0
1
2
U x
U x
U x
bo‘lsa, u holda biz shu yo‘l bi-
lan harakatlanib,
U
(
x
) ning (3.1) sistemaning izlanayotgan
x
ildiziga mos keluvchi
eng kichik qiymatli nuqtasiga tezkor yaqinlashib boramiz. Ushbu
1
n
U
x
U x
U
x
–
tuzilgan
U x
funksiyaning gradiyenti
belgilashini kiritib,
0
1
1
2
,
,
OM M OM M
vektorli uchburchaklardan quyidagini yozamiz (xususiy holda 3.10-rasmga qarang):
1
p
p
p
p
x
x
U x
,
0,1, 2,
p
.
Endi
p
ko‘paytuvchin aniqlash qoldi. Buning uchun quyidagi skalyar funksi-
yani qaraymiz:
p
p
p
U x
U x
.
Bu
funksiya
U
funksiya sathining
p
x
nuqtadagi sath sirtiga o‘tkazilgan
normalga mos keluvchi o‘zgarishini beradi.
p
ko‘paytuvchini shunday tanlash
lozimki,
funksiya minimumga erishsin. Bu funksiyadan
bo‘yicha
hosila
olib, uni nolga tenglashtiramiz. Unda quyidagi tenglamani hosil qilamiz:
0
p
p
p
d
U x
U x
d
.
(3.40)
134
(3.40) tenglamaning eng kichik musbat ildizi bizga
p
ning qiymatini beradi.
Endi
p
sonni taqribiy topish usulini qarab chiqaylik. Faraz qilamizki,
kichik
parametr bo‘lib, uning kvadrati va undan yuqori darajalarini e’tiborga olmaslik mum-
kin. U holda quyidagiga kelamiz:
2
1
n
p
p
i
i
f
x
U x
.
i
f
funksiyani
ning chiziqli hadlariga-
cha aniqlikdagi darajalariga yoyib, quyidagiga
ega bo‘lamiz:
2
1
p
n
i
p
p
i
i
f x
f
x
U x
x
,
bu yerda
1
2
,
,
,
i
i
i
i
n
f
f
f
f
x
x
x
x
.
Bulardan
3.10-rasm. Ikki o‘zgaruvchili
funksiya
holida gradiyentlar usulin-
ing geometrik talqini.
1
2
0
p
p
n
i
i
p
p
p
i
i
f x
f x
f x
U x
U x
x
x
.
Natijada,
1
2
1
,
,
p
n
i
p
p
p
p
p
i
i
p
p
p
p
p
p
n
i
p
i
f x
f x
U x
f x
W x
U x
x
W x
U x
W x
U x
f x
U x
x
,
bu yerda
i
W x
f
x
vektor-funksiya
f
ning Yakob matritsasi.
Yuqoridagilardan quyidagi tenglikka kelamiz:
2
1
1
2
n
n
i
i
i
i
i
j
j
j
f x
U
f x
f x
x
x
x
.
Bu yerdan esa
1
1
1
2
2
n
i
i
i
n
i
i
i
n
f x
f x
x
U x
W x f x
f x
f x
x
,
bu yerda
W x
transponirlangan Yakob matritsasi.
Shularga ko‘ra quyidagi natijaga kelamiz:
135
,
2
,
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
p
f
W W f
W W f
W W f
,(3.41)
bu yerda soddalik uchun quyidagicha yo-
zuv qabul qilingan:
p
p
f
f x
;
p
p
W
W x
,
bularga ko‘ra
1
p
p
p
p
p
x
x
W f
,
0, 1, 2,
p
.
(3.42)
Gradiyent usuli algoritmining blok-
sxemasi
3.11-rasmda tasvirlangan.
1-misol.
Tezkor tushish usili (gradi-
yent usuli) yordamida ushbu
2
2
2
2
0,1;
3
0, 2;
2
0,3.
x
x
yz
y
y
xz
z
z
xy
tenglamalar sistemaning koordinata boshi
atrofida
yotgan
ildizlarini
taqribiy
hisoblang.
Dostları ilə paylaş: