O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi termiz davlat universiteti

І.1-teorema. Biror sohada garmonik bo’lgan funksiya shu sohada barcha tartibli hosilalarga ega bo’ladi.
Isbot: funksiya sohada garmonik bo’lsin , da to’la yotuvchi , ya’ni o’zining chegarasi bilan birga sohani olamiz. ni shunday tanlab olamizki, uning chegarasi
^{Γ1 bo’laklari silliq sirtdan iborat bo’lsin . Ravshanki , ∈ ( ) va sohaga (4)} formulani qo’llaymiz:
, (І.6)

nuqtaning atrofida (І.6) integral ostidagi funksiya va ξ o’zgaruvchilar bo’yicha uzluksiz va nuqtaning barcha ,…………………………, koordinatalari bo’yicha barcha tartibli hosilalarga ega. Parametrga bog’liq bo’lgan integrallarni differensiallash haqidagi teoremaga asosan , funksiya nuqtada

lar bo’yicha barcha tartibli hosilalarga ega va bu hosilalarni (І.6)formulada integral ostida differensiallash natijasida hosil qilish mumkin.
Grin formulalari. bo’laklari silliq sirt bilan chegaralangan fazodagi soha bo’lib, va funksiyalar sinfga tegishli bo’lsin. soha bo’yicha quyidagi

Ayniyatlarni integrallab va Gauss-Ostragradskiy formulasini qo’llab,

Formulalarni hosil qilamiz, bunda ga o’tkazilgan tashqi normal, (І.7) ni Grinning birinchi, (І.8) ni esa ikkinchi formulasi deb yuritiladi. Agar va funksiyalarda garmonik bo’lsa, u holda (І.7) va (І.8) formulalar quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi:


(І.9)
(І.10)
(І.9) va (І.10) formulalarga asosan garmonik funksiyalarning qator sodda xossalari kelib chiqadi.
І.1-xossa. Agar sohada garmonik bo’lgan funksiya da o’zining birinchi tartibli hosilalari bilan birga uzluksiz bo’lib, sohaning chegarasi da nolga teng bo’lsa ,u holda barcha lar uchun =0 bo’ladi.(garmonik funksiyaning yagonalikxossasi.)
Agar (І.9) tenglikda = ) desak, undan bu xossa darrov kelib chiqadi. Haqiqatan, ∈ da =0 bo’lgani uchun (І.9) dan
dx= (І.11)


yoki dx=0 kelib chiqadi.


Demak, ya’ni barcha ∈ lar uchun =const.Bundan


∈ =0 bo’lgani sababli, yopiq sohada ning uzluksizligidan barcha


∈ lar uchun =0
І.2-xossa. Agar sohada garmonik, da birinchi tartibli hosilalari bilan uzluksiz
bo’lgan funksiyaning normal hosilasi ning chegarasi da nolga teng bo’lsa, barcha nuqtalar uchun =const bo’ladi.


Bu xossa barcha ∈ lar uchun bo’lgani sababli,(І.11) tenglikdan darhol kelib chiqadi.
І.3-xossa. sohada garmonik, da o’zining birinchi tartibli hosilalari bilan
uzluksiz bo’lgan funksiyaning normal hosilasidan bo’yicha olingan integral nolga teng.
Haqiqatan, (І.9) formulada =1, desak,
=0 hosil bo’ladi.
funksiya (І.2) yoki (І.3) formula bilan ifodalanadi. Bu integral ifoda maxsus ko’rinishga ega bo’gan va matematik fizikada muhim rol o’ynaydigan uchta integral operatorni kiritishga imkon beardi . (І.2) formulada
funksiyalarni ixtiyoriy funksiyalar bilan almashtiramiz. Natijada, ga parametr sifatida bog’liq bo’lgan uchta


,


,
integralga ega bo’lamiz. hajm potensiali yoki Nyuton potensiali, ikkilanganqatlam potensiali, esa oddiy qatlam potensiali
deyiladi. funksiyalar bu potensiallarning zichligi deb aytiladi.

n=2 bo’lgan holda ,(І.3) formuladan yuqoridagi potensiallar o’rniga logarifmik potensiallar deb ataluvchi quyidagi integrallar hosil bo’ladi.

,


,


Hajm va oddiy qatlam potensiallari juda sodda fizik, ma’noga egadir. Faraz qilaylik, uch o’lchovli fazoning biror nuqtasida nuqtaviy elektrik zaryad joylashgan bo’lsin. Fizikadan ma’lumki ,bu zaryad elektrostatik maydon hosil qiladi, bu maydonning nuqtadan farqli ixtiyoriy nuqtadagi kuchlanishi ushbu
=


formula bilan aniqlanadi.,bunda - proporsionallik koeffitsienti, u tanlab olingan birlik sistemasiga bog’liq bo’ladi. Avvalgi formula proyeksiyalarda quyidagicha yoziladi.
) , ) , ) ,

Bu tengliklarning o’ng tomoni teskari ishorasi bilan uchun

funksiyalarning hosilalariga teng ,ya’ni =- grad


U berilgan elektrostatik maydonning potensiali deyiladi. Odatda, → da da const=0 deb hisoblanadi. Matematikada soddalik uchun =1 deb hisoblanadi.
Shunday qilib,miqdori ga teng nuqtaviy zaryad = potensial hosil bo’ladi.

Ma’lumki,bir nechta nuqtaviy zaryadlarning umumiy potensialini topish uchun ularning potensiallarini qo’shish kerak. Shu sababli, uzluksiz taqsimlangan zaryadlar hosil qilgan potensialni yig’indining limiti sifatida , ya’ni integral sifatida topiladi.

Agar zaryad hajm zichligi bo’lgan hajm bo’yicha tarqalgan bo’lsa, bu zaryad hosil qilgan potensial hajm potensialiga teng bo’ladi. Agarda zaryad sirt bo’yicha
tarqalgan bo’lsa, potensial oddiy qatlam potensialidan iborat bo’ladi.


Endi ikkilangan qatlam potensialining fizik ma’nosini tekshiramiz. Faraz qilaylik, ikkita va – zaryadlar o’qda bir-biridan ε masofada joylashgan bo’lsin.
Shu bilan birga bu zaryadlar nuqtaga intilayotgan bo’lib,


- dan gacha yo’nalish ning musbat yo’nalishi bilan bir xil bo’lsin.


^r1 x