O’zbekiston respublikasi oliy va o’rta maxsus ta’lim vazirligi urganch davlat universiteti

Misol. ikki o‘lchovlik tasodifiy miqdorni birgalikdagi taqsimot jadvali berilgan:

	1	2	3
0,1	0,12	0,08	0,40
0,2	0,16	0,10	0,14

Quyidagilarni toping: a) va tasodifiy miqdorlarning alohida taqsimot qonunlari; b) tasodifiy miqdorning dagi shartli taqsimot qonuni

a) va tengliklardan:

0,1 0,2 0,60 0,40	1	2	3
	0,28	0,10	0,54

b) (5) formulaga asosan:

tasodifiy miqdorning Y=2 dagi shartli taqsimot qonuni quyidagiga teng:

	0,1	0,2

Endi (X,Y) ikki o‘lchovli tasodifiy miqdor uzluksiz bo‘lgan holni ko‘ramiz. tasodifiy miqdorning birgalikdagi zichlik funksiyasi, va lar esa va tasodifiy miqdorlarning alohida zichlik funksiyalari bo‘lsin.

tasodifiy miqdorning bo‘lgandagi shartli zichlik funksiyasi

(2.6)

ifodaga orqali aniqlanadi.

Shartli zichlik funksiyasi zichlik funksiyasining

kabi xossalariga egadir.

Xuddi shunday, tasodifiy miqdorning bo‘lgandagi shartli zichlik funksiyasi

(2.7)

tenglik orqali aniqlanadi.

(2.6) va (2.7) tengliklarni hisobga olib, zichlik funksiyani
quyidagi ko‘rinishda yozish mumkin:

(2.8)

(2.8) tenglik zichlik funksiyalarning ko‘paytirish qoidasi(teoremasi) deyiladi.

Ikki o`lchovli tasodifiy miqdorlarning sonli xarakteristikalari.

tasodifiy vektorning sonli xarakteristikalari sifatida turli tartibdagi momentlar ko‘riladi. Amaliyotda eng ko‘p I va II – tartibli momentlar bilan ifodalanuvchi matematik kutilma, dispersiya va korrelatsion momentlardan foydalaniladi.

Ikki o‘lchovli diskret tasodifiy miqdorlarning matematik kutilmasi bo‘lib, bu yerda

(3.1)

va

Agar tasodifiy miqdorlar uzluksiz bo‘lsa, u holda

(3.2)

X va Y tasodifiy miqdorlarning kovariatsiyasi

(3.3)

tenglik bilan aniqlanadi. Agar tasodifiy miqdorlar diskret bo‘lsa, uning kovariatsiyasi

(3.4)

agar uzluksiz bo‘lsa,

(3.5)

formulalar orqali hisoblanadi.

Kovariatsiyani quyidagicha hisoblash ham mumkin:

(3.6)

Bu tenglik (3.3) formula va matematik kutilmaning xossalaridan kelib chiqadi:

Kovariatsiya orqali X va tasodifiy miqdorlarning dispersiyalarini aniqlash mumkin:

vektorning kovariatsiya matritsasi

ifoda bilan aiqlanadi.

Kovariatsiyaning xossalari:

1. 
   ;
   
2. 
   Agar X Y ⊥ bo‘lsa, u holda ;
   
3. 
   Agar X va ixtiyoriy tasodifiy miqdorlar bo‘lsa, u holda
   
4. 
   yoki
   
5. 
   
   
6. 
   
   

3-xossaga ko‘ra, agar bo‘lsa, va tasodifiy miqdorlar bo‘gliq bo‘ladi. Bu holda va tasodifiy miqdorlar korrelatsiyalangan deyiladi. Lekin ekanligidan va tasodifiy miqdorlarning bog‘liqsizligi kelib chiqmaydi. Demak, va tasodifiy miqdorlarning bog‘liqsizligida ularning korrelatsiyalanmaganligi kelib chiqadi, teskarisi esa har doim ham o‘rinli emas.

va tasodifiy miqdorlarning korrelatsiya koeffitsienti

(3.7)

formula bilan aniqlanadi.

Korrelyatsiya koeffisiyentining xossalari

1. 
   ya`ni
   
2. 
   Agar X Y ⊥ bo‘lsa, u holda ;
   
3. 
   Agar bo‘lsa, u holda va tasodifiy miqdorlar chiziqli funksional bog‘liq bo‘ladi, teskarisi ham o‘rinli.
   

Shunday qilib, bogliqsiz tasodifiy miqdorlar uchun , chiziqli bog‘langan tasodifiy miqdorlar uchun , qolgan hollarda . Agar bo‘lsa, tasodifiy miqdorlar musbat korrelatsiyalangan va aksincha agar bo‘lsa, ular manfiy korrelyatsialangan deyiladi.

Ba’zi muhim ikki o‘lchovlik taqsimotlar

Doiradagi tekis taqsimot. Radiusi bo‘lgan doirada tasodifiy miqdor tekis taqsimotga ega bo‘lsin.

Demak, ning birgalikdagi zichlik funksiyasi

O‘zgarmas ni

ya`ni

shartdan aniqlaymiz. Bu karrali integralni geometrik ma'nosidan kelib chiqqan

holda hisoblash osonroq.



sirt va tekislik bilan chegaralangan jismning hajmi 1 ga tengdir.
Bizning holda bu asosi va balandligi bo‘lgan silindr hajmidir.
Dеmаk, vа izlаnаyotgаn zichlik funksiyasi

Ungа mоs taqsimot funksiyani hisоblаymiz:

Tаbiiyki, bu intеgrаl dоirа bilаn uchi nuqtаdа bo‘lgаn -kvаdrаntning аniqligidа kеsishishidаn hоsil bo‘lgаn sоhа yuzаsigа tеngdir. Tаbiiyki, dа chunki bu hоldа , endi vа dа chunki bu hоldа -

sоhа dоirа bilаn ustmа-ust tushаdi.

Endi vа lаrning mаrginаl taqsimot funksuyalаri vа lаrni

hisоblаymiz: dа

Dеmаk,

Аynаn shungа o‘хshаsh

Nihоyat, vа lаrning mаrginаl zichliklаrini hisоblаymiz:

vа shu kаbi

Ko‘rinib turibdiki, dеmаk, vа bоg‘liq tasodifiy miqdorlаr ekаn.

Shuni tа’kidlаb o‘tish lоzimki, tеkis tаqsimоtgа egа bo‘lgаn hаr qаndаy
juftlik dоimо bоg‘liq bo‘lаdi dеb аytish nоto‘g‘ridir. Chunki vа lаrning bоg‘liqlik хоssаlаri ulаr qаndаy sоhаdа tеkis tаqsimоtgа egа ekаnligigа bоg‘liqdir

Xulosa

Shunday qilib, men “Ko`p o`lchovli tasodifiy miqdorlar” mavzusiga kurs ishi yozish davomida tasodifiy miqdor haqida tushunchaga ega bo`ldim. Ko‘p o‘lchovli tasodifiy miqdorlar va ularning birgalikdagi taqsimot funksiyalari, ikki o‘lchovli diskret tasodifiy miqdor va uning taqsimot qonunilar, ikki o‘lchovli tasodifiy miqdorning taqsimot funksiyasi va uning xossalari, tasodifiy miqdorlarning bog‘liqsizligi, shartli taqsimot qonunlari va ikki o`lchovli tasodifiy miqdorlarning sonli xarakteristikalari. haqida o`rgandim.

Men ushbu kurs ishini yozish davomida, ko`plab yangi bilim va tushunchalarga ega bo`ldim. A.A.Abdushukurovning “Ehtimollar nazariyasi va Matematik statistika” Toshkent “Universitet” 2010 va Sh.Q. Farmanov, R.M. Turgunbayev, L.D. Sharipova, N.T. Parpiyeva. Ehtimolliklar nazariyasi va matematik statika kitoblarini va boshqa darsliklarni sinchiklab o`rganib ta`riflar, teoremalar kurs ishimga kiritdim. Foydalanilgan adabiyotlarimdagi misollarni ishlab, ularni o`rganib chiqdim.

Foydalanilgan adabiyotlar.

1. Sh.Q. Farmanov, R.M. Turgunbayev, L.D. Sharipova, N.T. Parpiyeva. Ehtimolliklar nazariyasi va matematik statika. Toshkent. “Tafakkur-bo`ston”. 2012

2. A.A.Abdushukurovning “Ehtimollar nazariyasi va Matematik statistika” Toshkent “Universitet” 2010

3. Аbdushukurov А.А. Xi-kvadrat kriteriysi: nazariyasi va tatbiqi, O‘zMU, 2006.

4. Аbdushukurov А.А., Azlarov T.A., Djamirzayev A.A. Ehtimollar nazariyasi

va matematik statistikadan misol va masalalar to‘plami. Toshkent «Universitet», 2003.

5. Azlarov T.A., Abdushukurov A.A. Ehtimollar nazariyasi va matematik statistikadan Inglizcha-ruscha-o‘zbekcha lug‘at. Toshkent: «Universitet», 2005.

6.http://www.nsu.ru/icem/grants/etfm/;