O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi zahiriddin muhammad bobur nomli andijon davlat universiteti

4. Kvadratik (parabolik) interpolyatsiya

Kvadratik interpolyatsiyada interpolyatsion koʻphad sifatida [x_i–1, x_i+1][а, b] oraliqdan olingan kvadrat uchhad qaraladi:

(6.6)
Bunda a_i, b_i, c_i koeffitsiyentlarni aniqlash uchun (6.3) shart asosida tenglamalar sistemasi tuziladi, masalan:
(6.7)
Hisoblash algoritmi yuqoridagi mavzuga oʻxshash, biroq (6.5) munosabat oʻrniga (6.7) sistemani yechish maqsadida (6.6) munosabatdan foydalaniladi. Ravshanki, x_T[x₀, x_n] uchun 3 ta eng yaqin nuqtalar olinadi.
Usulning grafik tasviri quyidagicha:

2- shakl.

Interpolyatsiya tugunlaridan tashqarida nazariy xatolikni topish formulasi:

R(x) =(x – x₀)  (x – x₁)  (x – x₂)
Misol. Jadval bilan berilgan funksiya qiymatini x=0,4 boʻlgan hol uchun kvadratik interpolyatsion formuladan foydalanib hisoblang:

i	0	1	2	3
xi	0	0,1	0,3	0,5
yi	–0,5	0	0,2	1

Yechish: (6.6) ga asosan ishchi formulani yozib olamiz:
y=a_ix²+b_ix+c_i .
a_i, b_i, c_i koeffitsiyentlarni aniqlash uchun (6.7) ga koʻra tenglamalar sistemasini tuzish kerak. Buning uchun x_t = 0,4 nuqtaga eng yaqin boʻlgan 3 ta nuqtani tanlaymiz: x_i–1 = 0,1; x_i = 0,3; x_i+1 = 0,5.
y_i–1 = 0; y_i = 0,2; y_i+1 = 1.
va mos tenglamalarni hosil qilamiz:

Tenglamalar sistemasini matritsaviy koʻrinishda yozib olamiz:
A = ; = ; = =A– .
A^–1 teskari matritsani hisoblab topamiz:
A^–1 = ;
= =  ;
Matritsalarni koʻpaytirib, a, b, c koeffitsiyentlarni aniqlaymiz:
a = 0 – = 7,5; b = –2; c = 0,125;
Natijada, izlangan funksiya koʻrinishini olamiz: y = 7,5x² – 2x + 0,125.
Endi x = 0,4 qiymat uchun hosil boʻlgan kvadratik funksiyaning son qiymatini aniqlaymiz. Natija y = 0,525 ga teng.