O‟zbekiston respublikasi oliy va o‟rta

- § Nuqtaning to‟g‟ri chiziqdagi vaziyati. Koordinatalarni almashtirish formulalari. Asosiy formulalar

1. 
   Nuqtaning to‟g‟ri chiziqdagi vaziyati
   

Analitik geometriya metodining eng muhim hususiyatlaridan biri geometrik shakillar vaziyatini aniqlash uchunsonlardan foydalanishdir. Geometrik shkillarning vaziyatini aniqlovchi sonlar shu shakillarning koordinatalari deb aniqlanadi.

Hozircha bir to‟g‟ri chiziqda yotgan nuqtalarni qarab chiqish bilanchegaralanamiz. Bu to‟g‟ri chiziqda yotgan nuqtalarning vaziyatini aniqlash uchun koordinatalar sistemasini quyidagicha qilib olamiz:

1. 
   Ixtiyoriy bir nuqtani, masalan, O nuqtani koordinatalar boshi deylik (1 - chizma), qolgan nuqtalarning vaziyati shunga nisbatan aniqlanadi;
   

C M

P e Q

2. 
   Qaralayotgan nuqtaning koordinatalar boshidan bo‟lgan masofani o‟lchash uchun uzunlik birligi ( ) ni tanlab olamiz.
   
3. 
   To‟g‟ri chiziqda musbat yo‟nalishni tanlab olamiz (chizmada u strelka bilan
   

ko‟rsatilgan), bu esa to‟g‟ri chiziq kesmalarini faqat absalyut qiymatlari jihatidangina emas, balki ishoralari jihatidan ham farq qilishga imkon beradi. Agar kesmaning bosh nuqtasidan oxirigi nuqtasigacha bolgan yo‟nalish to‟g‟ri chiziqning musbat yo‟nalishi bilan ustma – ust tushsa, kesma musbat hisoblanadi; agar kesmaning yo‟nalishi to‟g‟ri chiziqning musbat yo‟nalishiga qarama – qarshi yo‟nalish bilan usma – ust tushsa, u holda kesma manfi hisoblanadi (2 – chizmada OA kesma musbat, OB kesma manfidir ).

To‟g‟ri chiziqda koordinatalar sistemasi olingandan so‟ng, bu to‟gri chiziqning har bir M
nuqtasiga uning vaziyatini aniqlovchi birgina ismsiz son, yani bitta koordinata mos

keladi; bu koordinataning absalyut qiymati M nuqtaning koordinatalar boshidan berilgan uzunlik birligi bilan o‟lchangan masofasini beradi, ishorasi esa nuqtaning koordinatalar boshidan qaysi tomonda joylash ganligini ko‟rsatadi.

Aksincha, har bir songa to‟g‟ri chiziqda bir nuqta mos keladi. Masalan koordinatasi
, ya‟ni yoki bo‟lgan A nuqtani yasash kerak bo‟lsin. A nuqta

koordinatalar boshidan o‟ngga qo‟yilgan (2 - chizma) va masshtab birligining 3 tasiga teng kesmaning oxiri bo‟lganidan birgina qiymat bilan aniqlanadi.

Nuqtaning koordinatasi shu nuqta belgisi yoniga qavs ichida yoziladi, masalan:
va hokazo.

nuqtani yasash uchun koordinatalar boshidan chapga qarab PQ birlikning

yarmini qo‟yish kerak (2 - chizma). Yana bir ) nuqtani yasaylik. Bu holda bo‟ladi. Bu kesmani hosil qilish uchun tomoni PQ kesmaga teng bo‟lgan

kvadratni yasaymiz: bu kvadratning dioganali bo‟ladi; shunday qilib, dioganalga teng kesmani koordinatalar boshidan musbat yo‟nalishda ajratib, C nuqtani topamiz (3 - chizma).

B O A O C P Q

P

2 – chizma. 3 – chizma.

Agar biz nuqta berilgan desak, bu nuqtaning koordinatasi ma‟lum deganimiz bo‟lkadi; biror shartga ko‟ra nuqta topilsin deyilsa, bu nuqtaning koordinatasini hisoblash kerak degan so‟zdir.

Shunday qilib, to‟g‟ri chiziq nuqtalari bilan haqiqiy sonlar orasida o‟zaro bir qiymatli moslik o‟rnatildi. Biror o‟zgaruvchi miqdorning o‟zgarishini grafik usulida tasvirlas uchun bu

moslikda foydalanishimiz mumkin. Masala, o‟zgaruvchi miqdor geometrik

progressiya hadlariga teng qiymatlarni ketma - ket qabul qilsin; o‟zgaruvchining bu qiymatlari

to‟g‟ri chiziqda nuqtalar bilan tasvirlanadi (4 - chizma); bunday o‟zgaruvchi miqdor sakrab – sakrab O





e o‟zgarishi
va har safar oldingi orttirmasiga qaragandaikki matta katta orttirma qabul qilishini ochiq ko‟ramiz. Agar o‟zgaruvchi miqdor,


O

e
masalan: 1, 1,5, 2, 2,5, 3, … arifmetik progressiya hadlari o‟zgarishining qonuni bilan o‟zgarsa, u holda bu to‟g‟ri chiziqda bir – biridan bir xil uzoqlikda bo‟lgan bir qancha nuqtalar hosil qilar edik (5 - chizma).

Ko‟pgina o‟lchov asboblaridabiz tekshirilayotgan miqdorning o‟zgarishi haqida nuqtaning to‟g‟ri chiziqdagi vaziyatiga qarab muxokama qilamiz. Masalan, temperatura haqida biz to‟g‟ri chiziqli vertikal shakildagi simob ustunining past - balandligiga qarab fikr qilamiz. Bu holda boshlang‟ich nuqta deb muzning erish temperaturasidagi simobning balandligi qabul qilingan ; musbat yo‟nalish deb pastdan yuqoriga bo‟lgan yo‟nalish olingan; uzunlik birligi esa simob muzning erish temperaturasidan suvning qaynash temperaturasiga o‟tishda qancha

ko‟tarilsa, shuning qismiga teng (Tselsiy shkalasi).

Agar koordinatalar boshi yoki to‟g‟ri chiziqdagi yo‟nalish yohud uzunlik birligi o‟zgartirilsa, u holda to‟g‟ri chiziqdagi nuqtalar bilan sonlar orasidagi moslik boshqacha bo‟ladi

– har bir nuqta yangi koordinataga ega bo‟ladi.

2.