O`zbekiston respublikasi oliy va

{Ax_n} ketma-ketlik bittadan ortiq limitik nuqtaga ega emas. Demak, {Ax_n}
yaqinlashuvchi ketma-ketlik.
Endi biz o`z-o`ziga qo`shma bo`lgan kompakt operatorlarni batafsilroq o`rganamiz. Xususan, bunday operatorlar uchun chiziqli algebra kursidan ma'lum bo`lgan matritsalarni diagonal ko`rinishga keltirish haqidagi teoremaga o`xshash Hilbert-Shmidt teoremasini isbotlaymiz. Avval quyidagi ikkita tasdiqni isbotlaymiz.
Lemma. H kompleks Hilbert fazosidagi o`z-o`ziga qo`shma bo`lgan chegaralangan A operatorning barcha xos qiymatlari haqiqiydir.
Isbot. Haqiqatan ham, Ax = λx tenglama x ƒ= ∅ yechimga ega bo`lsin. U holda
λ(x, x) = (λx, x) = (Ax, x) = (x, Ax) = (x, λx) = λ(x, x)

Bu yerdan λ

Lemma. O`z-o`ziga qo`shma chegaralangan operatorning har xil xos qiymatlariga mos keluvchi xos vektorlari o`zaro ortogonaldir.
Isbot. Haqiqatan ham, agar Ax = λx, Ay = µy hamda λ − µ ƒ= 0 bo`lsa, u holda
λ(x, x) = (Ax, y) = (x, Ay) = (x,µy) = µ(x, y).

Bu yerdan (λ − µ)(x, y) = 0, ya'ni (x; y) = 0. Demak, x⊥y.

Endi quyidagi fundamental teoremani isbotlaymiz
Teorema (Hilbert-Shmidt). H Hilbert fazosida kompakt, o`z-o`ziga qo`shma, chiziqli A operator berilgan bo`lib, {λ_n} - uning barcha nolmas xos qiymatlari ketma-ketligi bo`lsin. U holda H fazoda shu xos qiymatlarga mos keluvchi xos vektorlardan iborat shunday {φ} ortonormal sistema mavjudki,
har bir ξ ∈ H element yagona usulda



Σ
ξ = c_kφ_k + ξ^j
k



Σ
ko`rinishda tasvirlanadi, bu yerda ξ<sup>j</sup> vektor Aξ<sup>j</sup> = 0 shartni qanoatlantiradi. Bu holda
Aξ = λ<sub>k</sub>c<sub>k</sub>φ<sub>k</sub> + ξ<sup>j</sup>.
k
Agar nolmas xos qiymatlar soni cheksiz bo`lsa, u holda

lim
n→∞
λ_n = 0.

Bu asosiy teoremani isbotlash uchun bizga quyidagi yordamchi tasdiqlar kerak bo`ladi.
Lemma. A kompakt operator va {ξ_n} ketma-ketlik ξ elementga kuchsiz
yaqinlashsin, u holda
Q(ξ_n) = (Aξ_n, ξ_n) → (Aξ, ξ) = Q(ξ)


Isbot. Ixtiyoriy n natural son uchun
|(Aξ_n, ξ_n) − (Aξ, ξ)| = |(Aξ_n, ξ_n) − (Aξ_,ξ_n) + (Aξ_,ξ_n) − (Aξ, ξ)| ™

™ |(Aξ_n, ξ_n) − (Aξ, ξ_n)| + |(Aξ, ξ_n) − (Aξ, ξ)|.

Ikkinchi tomondan,
|(Aξ_n, ξ_n) − (Aξ, ξ_n)| = |(Aξ_n, −Aξ, ξ_n)| ™ ǁξ_nǁ · ǁA(ξ_n − ξ)ǁ

va
|(Aξ_n, ξ_n) − (Aξ, ξ)| = |(Aξ_n, ξ_n − ξ)| = |(ξ, A^∗(ξ_n − ξ))| ™ ǁξ_nǁ · ǁA^∗(ξ_n − ξ)ǁ.

Ma'lumki, ǁξ_nǁ sonlar ketma-ketligi chegaralangan va

n→∞
lim (ǁA(ξ_n − ξ)ǁ + ǁA^∗(ξ_n − ξ)ǁ) = 0

bo`lganligi uchun, n → ∞ da

|(Aξ_n, ξ_n) − (Aξ, ξ)| → 0.

Lemma. A o`z-o`ziga qo`shma chegaralangan operator va (Aξ, ξ) = Q(ξ)

bo`lsin. Agar Q(ξ) funksional birlik sharning ξ₀ nuqtasida maksimumga erishsa, u holda (ξ₀, ζ) = 0 ekanligidan

(Aξ₀, ζ) = (ξ₀, Aζ) = 0
tengliklar kelib chiqadi.
Isbot. Ravshanki, ixtiyoriy ξ ∈ H uchun Q(xi) = (Aξ, ξ) ∈ R. Agar |Q(ξ)|
funksional birlik sharning ξ₀ nuqtasida maksimumga erishsa, u holda ǁξ₀ǁ = 1. Haqiqatan ham, agar ǁξ₀ǁ < 1 bo`lsa, u holda

3. II BOB. Putnam teoremasi va Murr bahosi

1. Putnam teoremaasi

Tasdiq-1. H− o'z-o'ziga qo'shma operator hamda R(z) = (H − z)⁻¹
bo'lsin. Qandaydir zich to'plamdan olingan ixtiyoriy ϕ uchun quyidagi shartni
qanoatlantiruvchi C(ϕ) < ∞ mavjud bo'lsin:
lim sup ^.ϕ, ImR(µ + iε)ϕ^Σ ≤ C(ϕ)
^ε↓0 µ∈(a,b)
U holda H operator (a, b) kesmada faqatgina uzluksiz spektrga ega.
Isboti. E_∆ = E_∆(H) H ning ∆ ga mos spektral proektori bo'lsin. Stoun formulasiga ko'ra quydagi tenglikni yoza olamiz.

.
¹ ϕ, ^.
E[a^j, b^j] ^{+ E}(a^j, b^j)^{Σ ϕΣ}
= lim
₁ ∫ _bj _.
ϕ, ImR(µ + iε)ϕ
^Σdµ.

2 ^ε↓0 π _aj
E_(a^j_{, b}^j₎ ≤ E_(a^j_{, b}^j₎tengsizlikdan (a^j, b^j) ⊆ (a, b) oraliqda ϕ funksiyanining
zichlik to'plami uchun quydagiga ega bo'lamiz.

1
(ϕ, E_(a^j_{, b}^j₎ϕ) ≤

1. 
   _bj
   

∫
π _aj
C(ϕ)dµ ≤
_π C(ϕ)|b^j
− a^j|

Ixtiyoriy Ω ⊆ (a, b) borel to'plamlari uchun
(ϕ, E_Ωϕ) ≤ π⁽⁻¹⁾C( ϕ) | Ω |
o'rinli bo'ladi. Bundan esa dµ_ϕ spektral o'lcham absolyut uzluksizligi kelib
chiqadi. Bunday ϕ funksiyalar to'plami zich bo'lganligi uchun (a, b) intervaldagi spektr absolyut uzluksiz bo'ladi.

Teorema (Putnam teoremasi). H va A chegaralangan va o'z-o'ziga qo'shma operatorlar bo'lsin. Agar
[H, iA] = C^∗C (3)

Bu yerda Ker (C) = {0} o'rinli bo'lsa, u holda H operator faqat absolyut uzluksiz spektrga ega.

Isboti. R(z) := (H − z)⁻¹ bo'lsin. U holda quydagilarga egamiz.
ǁCR(µ ± iε)ǁ² = ǁR(µ ∓ iε)C^∗CR(µ ∓ iε)ǁ
= ǁR(µ ∓ iε)[H, iA] R(µ ± iε)ǁ = ǁR(µ ∓ iε)[H − µ ∓ iε, iA]R(µ ± iε)ǁ
≤ ǁAR(µ ± iε)ǁ + ǁR(µ ∓ iε)Aǁ + 2εǁR(µ ∓ iε)AR(µ ± iε)ǁ ≤ 4ε⁻¹ǁAǁ.
2ǁCImR(µ + iε)C^∗ǁ = ǁCR(µ + iε)2iεR(µ − iε)C^∗ǁ ≤ 8ǁ, Aǁ
Bundan esa,
2ǁCImgR(µ + iε)C^∗ǁ = ǁCR(µ + iε)2iεR(µ − iε)C^∗ǁ ™ 8ǁAǁ

shuni yoza olamiz.

Ran(C^∗) zich to'plam bo'lganligi uchun (1) tasdiqni xulosasidan teoremani isboti kelib chiqadi.
Izoh Yuqoridagi isbotdan ko'rishimiz mumkinki H vsA operatorlar chegaralangan bo'lsa, [H, iA] “ aI baho o'rinli bo'lmaydi.
Yuqoridagi [H, iA] “ aI baho barcha z larda R(z) rezolventani chegaralanganligini keltirib chiqaradi. Ya'ni H operator spektorga ega emas.
Murray tomonidan topilgan bahoni (1)tenglikning kuchsiz varianti deb
tasavvur qilish mumkin. H va A operatorlarning chegaralanmaganlik sharti Shryodinger operatorining tadbiqlarida muhim ahamyat kasb etadi. Undan tashqari Murraning lokal harakterga ega. Bu esa xos sonlar yordamida, agar ular mavjud bo'lmasa ham spektrning absolyut uzluksizligini isbotlashda qo'l
keladi.
Murray bahosiga to'xtalishdan avval bir nechta ta'ri ar keltiramiz. Boshlanishida ixtiyoriy o'z-o'ziga qo'shma asosativ H operator uchun H fazoning shkalasini kiritamiz.
Ta'rif 1. H Hilbert fazosidagi o'z-o'ziga qo'shma H operator uchun
ǁψǁ₊₂ = ǁ(H + i)ψǁ.
shunday norma kiritilgan D(H) to'plamni H₊₂ sifatida aniqlaymiz.

1

j
Xuddi shunday H₊ := D(|H| ² ) ko'rinishda aniqlanadi. H₋₂ va H₋₁ fazolar mos ravishda H₊₂ va H₊₁ ga dvoystvenniy qilib aniqlaymiz. Ularning har birini H fazoning ǁϕǁ_−j = ǁ(|H| + I)^{− 2} ϕǁ norma bo'yicha yopilmasi sifatida
tushuniladi. Shu sababli quyidagi munosabat o'rinli.
H₊₂ ⊂ H₊₁ ⊂ H ⊂ H₋₁ ⊂ H₋₂
Izoh Agar H = −∆ yoki −∆+V bo'lsa, bu yerda V birdan kichkina, chegaraga
nisbaan vartiangle-chegaralangan. U holda kiritilgan fazolar, oddiy Sobolyov fazolari bilan ustma-ust tushadi.
Endi o'z-o'ziga qo'shma bo'lgan H va A operatorlar juftligi uchun quydagi shartlarni keltiramiz. Ulardan biz keyinchalik foydalanamiz. Bu shartlarda H_k− fazo H fazoga asosirniy bo'ladi.

1. 
   shart D(A) ∩ H₊₂ to'plam H₊₂ fazoda zich.
   
2. 
   shart D(A) ∩ H₊₂ da aniqlangan [H, iA] operatorni H₊₂ H₋₁ gacha
   

ettirish mumkin.
2^j-shart D(A) ∩ H₊₂ da aniqlangan [H, iA] operatorni H₊₂ H₋₂ gacha ettirish mumkin.

3. 
   shart D(H₀) = D(H) tenglikni qanoatlantiruvchi shunday o'z-o'ziga qo'shma H₀ operator mavjudki, bunda [H, iA]operator H₊₂ dan H gacha davom etadi hamda, D(A) ∩ D(H₀A) to'plam H₀ ning sushestvenniy to'plami
   

bo'ladi.
Izoh Amalyotda H = −∆ + V bo'lsa H₀ sifatida −∆ olinadi.

4. 
   shart H₊₂ ∩ D(A) to'plamda aniqlangan [[H, iA], iA] operator H₊₂ dan
   

H₋₂ gacha davom ettirish mumkin.

2.