O`zbekiston respublikasi oliy va

iε⁻¹(1 + ε)(iA + λ)⁻¹[(I + iεH₀)⁻¹, iA]R_λ =
iε⁻¹(1 + ε)(iA + λ)⁻¹(−iε⁻¹ + H₀)⁻¹[H₀, iA](I + iεH₀)⁻¹R_λ.
(H + i)⁻¹(H₀ + i) ko'paytmani [H₀, iA] va (I + iεH₀)⁻¹ operatorlar orasiga joylashtiramiz hamda [H₀, A], (H₀ + i)⁻¹ operator chegaralanganligidan
foydalanamiz. U holda yetarlicha katta λ larda
ǁ[(H₀ + i)(I + iεH₀)⁻¹, R_λ]ϕǁ ™ C|λ|⁻¹ǁ(H₀ + i)(I + iεH₀)⁻¹, R_λϕ
tengsizlik kelib chiqadi. Shu sababli
(1 − C|λ|⁻¹)ǁ(H₀ + i)(I + iεH₀)⁻¹R_λϕǁ ™ Cǁ(H₀ + i)ϕǁ
tengsizlk hosil bo'ladi. Bundan esa,
ǁ(H₀ + i)(I + iεH₀)⁻¹R_λϕǁ ™ Cǁ(H₀ + i)ϕǁ.
foydalanib, R_λ : H₊₂ → H₊₂ operator yetarlicha katta |λ| larda tekis tengsizlik kelib chiqadi. Bunda ε ni nolga intiltiramiz hamda quydagi tenglikdan yaqinlashuvchi ekanligini topamiz.

T
Ta'rifga ko'ra I − R_λ = λ⁻¹R_λiA tenglik o'rinli. Agar Aψ ∈ H₊₂ bo'lsa, u holda |λ| → ∞ intilganda, ǁ(I − R_λ)ψǁ₊₂ → 0 intiladi. D(A) D(H₀A) to'plam H₊₂ da zich bo'lganligi uchun hamda R_λ ning tekis yaqinlashuvchi
bo'lganligidan uning kuchli yaqinlashuvchi ekanligi ham kelib chiqadi.
Teorema (virial teoremasi). H va A operatorlar 1, 2^j, 3 shartlarni qanoatlantirsin. Agar E_{µ} H opratorning µ nuqtaga mos keluvchi spektral
proektori bo'lsa, u holda quydagi tenglik o'rinli bo'ladi.
E_{µ}[H, iA]E_{µ} = 0 (10)

Xususan H operatorning ixtiyoriy xos funksiyalari uchun (ψ, [H, A]ψ) = 0

o'rinli bo'ladi.
Isboti A_λ = AR_λ bo'lsin. Bu yerda R_λ lemmada aniqlangandek aniqlanadi.
U holda A_λ chegaralangan bo'ladi chunki E_{µ}H = µE_{µ}. Bundan esa,


E_{µ}[H, iA]E_{µ} = µE_{µ}iA_λE_{µ} − µE_{µ}iA_λE_{µ} = 0

kelib chiqadi. To'g'ridan to'g'ri hisob kitob orqali [H, iA] = R_λ[H, iA]R_λ

topamiz. Bundan keyin esa,
E_{µ}R_λ[H, iA]R_λE_{µ} = 0

topamiz.
Bu proektor ǁλǁ → ∞ intilganda H da kuchli yaqinlashadi.

Endi biz Murraning nuqtali spektrni chekliligi haqidagi teoremasini isbotlaymiz.
Teorema . H va A operatorlar 1, 2^j, 3 shartlarni qanoatlantirsin hamda
H operator ∆ intervalda Murra bahosida o'rinli bo'lsin. U holda H operator
∆ intervalda faqatgina chekli sondagi xos qiymatlarga ega bo'ladi. Bundan tashqari xos qiymatlarning karralisi ham chekli bo'ladi.
Izoh Bu natija ko'rsatadiki, xos qiymatlar ochiq to'plamda uning har bir nuqtalarida Murra bahosi o'rinli bo'ladigan bo'lin yig'ilmaydi.
Isboti Faraz qilaylik yoki H operatorning ∆ intervalda chekli sondagi
karrasi cheksiz bo'lsin. {ψ_n}_n=1 xos qiymatlarga mos ortonormallangan xos xos qiymatlari bo'lsin yoki H operatorning ∆ intervaldagi xos qiymatlarining funksiyalar bo'lsin. U holda Murra bahosiga hamda virial teoremasiga ko'ra

quyidagi natijaga erishamiz.

0 = (ψ_n, [H, iA]ψ_n) = (ψ_n, E_∆[H, iA]E_∆ψ_n) “ a + (ψ_n, Kψ_n).
ψ_n → 0 ga kuchsiz yaqinlashgani hamda K kompakt operator bo'lganligi uchun
n → ∞ intilganda (ψ_n, Kψ_n) → 0 intilishini topamiz. a > 0 bo'lganligi uchun teskari natijaga keldik, ya'ni farazimiz xato ekan. Teorema isbotlandi.

4. III BOB. Shryodinger operatori uchun Murr bahosi

   1. Murr bahosi o'rinli bo'ladigan Shryodinger operatorlariga misollar

5. Xulosa

4. Foydalanilgan adabiyotlar