O‟zbekiston respublikasi xalq ta`lim vazirligi a. Qodiriy nomidagi jizzax davlat pedagogika instituti fizika-matematika fakulteti

dyi
dx
Ni
M
dz
z
f
)
(
funksiyadan olingan integral ushbu ikkita 
Mdy
Ndx
Ndy
Mdx
,
integralni hisoblashga keltirilishini ta’kidladi. 
Bundan esa quyidagi shartlar kelib chiqadi: 
дх
дM
ду
дN
дх
дN
ду
дМ
,
. 
Shunday qilib, 
kompleks o’zgaruvchili funksiyaning haqiqiy va mavhum qismlaridan olingan 
xususiy hosilalar orasidagi munosabatlar topilgan edi. 
Mazkur funksiyalar nazariyasini takomillashtirish va mustaqil ilmiy sohaga 
aylantirishda Koshi va Rimanning ilmiy xizmatlari katta. 
Matematikaning bu sohasi taraqiyotida rus matematiklaridan I.I. Privalov 
(1891-941) ( N. N. L u z i n bilan birgalikda analitik funksiyalar, nazariyasining 
chegaraviy xossalari va chegaraviy masalalarini tadqiq etdi, bir qatlamli 
funksiyalar nazariyasini tekshirishga birinchi bo’lib asos soldi, subgarmonik 
funksiyalar bo’yicha ilmiy ishlar olib bordi, «Kompleks o’zgaruvchili funksiyalar 
nazariyasiga kirish» kitobi muallifi), Mixail Alekseyevich Lavrentyev (1900-
1980) (konform akslantirishlar bo’yicha qator teoremalarni isbotladi, riman sirtlari 
sinflarining yangi xossalarini topdi, konform akslantirishlarda variasion 
prinsiplardan, foydalanish sohasi bo’yicha ilmiy ishlar bajardi, kvazikonform 
akslantirish tushunchasini kiritdi va kvazikonform akslantirishlar nazariyasining 
asosiy teoremasini isbotladi (1948)va Aleksey Ivanovich Markushevich (1908-
1979) (analitik funksiyalar nazariyasida funksional analiz usullarining 
qo’llanilishiga doir ilmiy ishlarni bajardi, «Analitik funksiyalar nazariyasi» va 

---

«Analitik funksiyalar nazariyasi qisqacha kursi» kitoblari muallifi) ma’lum ishlar 
qildilar. 
Integral tenglamalar nazariyasi 
Matematikada integral tenglamalarni birinchilardan bo’lib norveg olimi Abel 
tadqiq etgan. U 1826 yilda yozilgan «Transseident funksiyalarning favqulodda 
keng sinfi to’g’risida memuar» ishida Abel teoremasini bayon etdi. 
Abelning ishlarini rivojlantirishda akademik Nikolay Yakovlevich Soninning 
(1849-1915) «Aniq integrallarga taalluqli ba’zi tengsizliklar haqida» asari muhim 
ahamiyatga ega bo’ldi, Abelning ishlari umumlashtirildi. 1896 yilda italyan 
matematigi Vito Volterra (1860 -1940) 
)
(
)
(
)
,
(
)
(
),
(
)
(
)
,
(
0
x
F
ds
s
s
x
N
x
x
F
ds
s
s
x
N
x
х
а
ko’rinishdagi integral tenglamalarning umumiy nazariyasini yorituvchi ilmiy 
ishlarni e’lon qila boshladi. Bu tenglamalar birinchi va ikkinchi tur «Volterra 
integral tenglamalari» deb ham atala boshladi, bunda 
)
( x
- izlanayottan 
funksiya, 
)
(
),
,
(
x
F
s
x
N
funksiyalar esa ma’lum funksiyalardir. Turg’unlik 
nazariyasi masalalarini yecha turib, integro-differensial tenglamalar tuzdi va 
ularning yechish usullarini ko’rsatdi. 
1900-1903 yillarda shved matematigi Erik Ivar Fredgolmning {1866 -1927)
)
(
)
(
)
,
(
)
(
),
(
)
(
)
,
(
x
F
ds
s
s
x
N
x
x
F
ds
s
s
x
N
b
a
b
а
ko’rinishdagi tenglamalarni tadqiq etgan ilmiy ishlari paydo bo’ldi. 
Haqiqiy o’zgaruvchili funksiyalar nazariyasi 
 
XIX asrning 70-80 yillarida Georg Kantor yaratgan cheksiz to’plamlar nazariyasi 
matematikaning ko’p sohalari ayniqsa, haqiqiy o’zgaruvchili funksiyalar 
nazariyasini rivojlantirishda katta rol o’ynadi. 
Veyershtrass 1885 yilda kesmada berilgan uzluksiz funksiyani tekis 
yaqinlashuvchi ko’phadlar qatoriga yoyish mumkinligi haqidagi teoremani 
isbotladi. 
Chebishev P. L. va Veyershtrass g’oyalarini rus matematigi S. N. Bernshteyn 
(1880-1968) va amerikalik matematik Danxem Jekson (1888-1946) davom 
ettirdilar. Masalan, bu borada Jeksonning «Furye qatorlari va ortogonal 
polinomlar» kitobi rus tilida 1948 yilda chop etilgan 
Funksional analiz 

---

Matematik analizning eng yosh tarmoqlaridan biri bo’lgan funksional analiz turli 
obyektli cheksiz va chekli fazolarda funksiya tushunchasining umumlashmasi-
funksional operatorlar bilan shug’ullanadi. Bu fanni yaratilishida polyak 
matematigi Stefan Banax (1892-1945) ning ham hissasi bor. U tuzgan chiziqli 
fazolar (Banax fazosi) hozirgi zamon matematikasida katta ahamiyatga ega. Uning 
asosiy asari «Chiziqli amallar nazariyasi» (1931) da asosiy ishlari yoritilgan. 
Rus matematiklaridan funksional analiz bo’yicha S. L. Sobolev (1908 yilda 
tug’ilgan), B. M. Levitan(1914 yilda tug’ilgan), I. M. Gelfand (1918 yilda 
tug’ilgan), Axiyezer N. I. (1901-1980), ozarbayjonlik K. T. Ahmedov (1917-
1975) va boshqalar barakali ilmiy natijalarga erishdilar. S. L Sobolev o’z ishlarida 
umumlashgan hosila, xususiy hosilali differensial tengla-malarning umumlashgan 
yechimi, differensial operator tushuncha-larini kiritdi, umumlashgan funksiyalar 
nazariyasini rivojlantirdi, funksional fazolarni (Sobolev fazosini) tadqiq etdi. 
Boshqa matematiklardan N. I. Axiyezerning gilbert fazosida chiziqli operatorlar 
nazariyasi sohasidagi ishlarini ta’kidlab o’tish kerak. Uning I. N. Glazman bilan 
hamkorlikda yozilgan «Gilbert fazosida chiziqli operatorlar nazariyasi» kitobi 
funksional analiz bo’yicha eng mukammal ilmiy tadqiqotlardan biri hisoblanadi.