3-§ PARAMETRGA BOG’LIQ INTEGRALLARNING UMUMIY XOLI. funksiya to’plamda berilgan. y
o’zgaruvchining [c,d] oraliqda olingan har bir tayin qimatida
funksiya o’zgaruvchining funksiyasi sifatida [a,b] oraliqda integrallanuvchi bo’lsin.
funksiyaning har biri [c,d] da berilgan va uchun
(7)
bo’lsin.
Ravshanki, ushbu
integral mavjud, y o’zgaruvchiga bog’liqdir:
(8)
haqiqqtdan ham (7) da bo’lganda (8) integral (1) ko’rinishdagi integralga aylanadi.
integralning xossalarini o’rganamiz.
5-Teorema. funksiya to’plamda uzluksiz , funksiyalarning har biri [c,d] da uzluksiz va ular (7) shartni qanoatlantirsin. U holda
funksiya ham [c,d] oraliqda uzluksiz.
Isbot. nuqtani olib unga shunday orttirma beraylikki, bo’lsin. U holda
(8)
bo’ladi. Bu tenglikning o’ng tomonini qo’shiluvchilarini baholaymiz.
funksiya M to’plamda uzluksiz , demak, Kantor teoremasiga asosan, tekis uzluksiz bo’ladi. U holda da funksiya o’z limit funksiya ga tekis yaqinlashadi .1-teoremaga ko’ra
(9)
bo’ladi.
munosabatdagi
integrallar uchun quyidagi bahoga egamiz:
| |,
, (10)
bunda
Shartga ko’ra funksiyalarning har biri [c,d] da uzluksiz. Demak,
(11)
Yuqoridagi (9), (10), (11) munosabatlarni e’tiborga olib, (8) tenglikda da limitga o’tsak, unda
bo’lishi kelib chiqadi. Demak, funksiya da uzluksiz. Teorema isbot bo’ldi.
6-Teorema.funksiya to’plamda uzluksiz, hususiy hosilaga ega va u uzluksiz, funksiyalar esa hosilalarga ega hamda ular (7) shartni qanoatlantirsin. U holda
