O‘zgaruvchi va o‘zgarmas miqdorlar. Funksiya tushunchalari. Funksiyaning berilish usullari, aniqlanish sohasi, grafigi. Elementar funksiyalar, murakkab funksiya, ketma-ketliklar limiti. Funksiyaning limiti, bir tomonlama limitlar

O‘zgaruvchi va o‘zgarmas miqdorlar. Funksiya tushunchalari. Funksiyaning berilish usullari, aniqlanish sohasi, grafigi. Elementar funksiyalar, murakkab funksiya, ketma-ketliklar limiti. Funksiyaning limiti, bir tomonlama limitlar.
Turli son qiymatlar qabul qiladigan miqdor o‘zgaruvchi miqdor deyiladi. Son qiymatlari o‘zgarmaydigan miqdor o‘zgarmas miqdor deyiladi. O‘zgaruvchi miqdorlar x,y,z,u,…va hk harflar bilan, o‘zgarmas miqdorlar a,b,c,… va hk harflar bilan belgilanadi. Har qanday hodisada ham o‘z qiymatini o‘zgartirmaydigan miqdorlar absolyut o‘zgarmas miqdorlar deyiladi. Masalan, aylana uzunligining diametriga nisbati absolyut o‘zgarmas miqdordir: .
Agar X to’plamdan olingan har bir x songa biror f qoidaga yoki qonunga ko‘ra Y to‘plamning bitta y soni mos qo‘yilgan bo‘lsa, u holda X to‘plamda funksiya aniqlangan (berilgan) deyiladi.
Bunda X to‘plam funksiyaning aniqlanish (berilish) sohasi, Y to‘plam esa funksiyaning o‘zgarish sohasi, x funksiyaning argumenti, y esa x ning funksiyasi deyiladi.
Keltirilgan ta’rifdagi x, y va f birlashtirilib, y o’zgaruvchi x ning funksiyasi deyilishi
y=f(x)
tarzida yoziladi. Funksiya ta’rifidagi har bir x ga bitta y ni mos qo‘yuvchi qoida turli usulda: analitik, jadval, grafik va boshqa usullarda bo‘lishi mumkin.
Biror X to‘plamda f(x) berilgan bo‘lsin.
Agar shunday o‘zgarmas M son topilsaki f(x) uchun
f(x)≤M
tengsizlik bajarilsa, u holda f(x) funksiya X to‘plamda yuqoridan chegaralangan funksiya deyiladi.
Agar shunday o‘zgarmas m son topilsaki f(x) uchun
f(x)≤m
bo’lsa, u holda f(x) funksiya X to‘plamda quyidan chegaralangan deyiladi.
Agar f(x) funksiya X to‘plamda ham yuqoridan, ham quyidan chegaralangan funksiya bo‘lsa, ya’ni shunday o‘zgarmas m va M sonlar topilsaki, f(x) uchun
m≤f(x)≤M
tengsizlik bajarilsa, u holda f(x) funksiya X to’plamda chegaralangan funksiya deyiladi.
y=f(x) funksiya X to‘plamda aniqlangan bo‘lsin,
Agar argument x ning X to‘plamdan olingan ixtiyoriy x₁ va x₂ qiymatlari uchun x₁₂ bo‘lishidan
f(x₁)₂), (f(x₁)≤f(x₂))
tengsizlik o‘rinli bo‘lishi kelib chiqsa, u holda f(x) funksiya X to‘plamda o‘suvchi (kamaymaydigan) funksiya deyiladi.
Agar argument x ning X to‘plamdan olingan ixtiyoriy x₁ va x₂ qiymatlari uchun x₁₂ bo‘lishidan
f(x₁)>f(x₂), (f(x₁)≥f(x₂))
bo‘lishi kelib chiqsa, u holda f(x) funksiya X to‘plamda kamayuvchi (o‘smaydigan) funksiya deyiladi.
O‘suvchi hamda kamayuvchi funksiyalar monoton funksiyalar deyiladi.
Agar ixtiyoriy f(x) uchun
f(-x)=f(x)
tenglik bajarilsa f(x) funksiya juft funksiya deyiladi.
Agar ixtiyoriy f(x) uchun
f(-x)=-f(x)
tenglik bajarilsa f(x) funksiya toq funksiya deyiladi.
Agar ixtiyoriy f(x) uchun
f(-x)=f(x), f(-x)=-f(x)
tenglik bajarilmasa f(x) funksiya juft ham emas, toq ham emas funksiya deyiladi.
Juft funksiya grafigi ordinata o‘qiga nisbatan simmetrik joylashgan bo‘ladi.
Toq funksiya grafigi koordinata boshiga nisbatan simmetrik joylashgan bo‘ladi.
1. Butun ratsional funksiyalar. Ushbu y=a₀+a₁x+a₂x²+ … +a_n-1x^n-1+a_nxⁿ ko‘rinishdagi funksiya butun ratsional funksiya deyiladi. Bunda (a₁,a₂ …a_n) - o‘zgarmas sonlar. n esa natural son, bu funksiya (-∞;+∞) da aniqlangan.
Butun ratsional funksiyaning xususiy hollari.
a) chiziqli funksiya y=ax+b
b) kvadratik funksiya y=ax²+bx+c

2. Kasr ratsional funksiyalar.
Ushbu ko‘rinishdagi funksiya kasr
ratsional funksiya deyiladi. Bunda
a₀, a₁ …a_n va b₀, b₁…b_m lar o‘zgarmas sonlar, n, m natural sonlar.
Kasr ratsional funksiyaning ba’zi bir xususiy hollari:
a) teskari proporsional bog‘lanishni ifodalovchi funksiya;
b) kasr chiziqli funksiya;
c) darajali funksiya y=x^a
d) ko‘rsatkichli funksiya y=a^x
e) logarifmik funksiya y=log_ax;
f) trigonometrik funksiyalar y=sinx y=cosx y=tgx y=ctgx;
g) teskari trigonometrik funksiyalar y=arcsinx y=arccosx
y=arctgx y=arcctgx.