Parabola va uning kanonik tenglamasi, xossalari

3.Parabolaning kanonik tenglamasi.
Ta’rif.3. Tekislikdagi har bir nuqtadan berilgan nuqtagacha va berilgan to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan masofalari o‘zaro teng bo‘lgan barcha nuqtalarning geometrik o‘rni parabola deyiladi.
Berilgan nuqta berilgan to‘g‘ri chiziqda yotmaydi deb olamiz. Berilgan F nuqta parabola fokusi, berilgan d to‘g‘ri chiziq parabola direktrissasi deyiladi.
Parabolaning fokusidan direktrisassigacha bo‘lgan masofani |FL|=p harfi yordamida belgilaymiz va uni parabolaning parametric deb ataymiz.
N nuqtadan d to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan masofani q=|NM| bilan N va F nuqtalar orasidagi masofani r=|NF| bilan belgilaymiz va buni parabolaning fokal radiusi deymiz. (1-chizma)

Ta’rifga binoan, parabola tenglamasi
|NM|=|NF| (1)
yoki r=q
Parabolani to‘g‘ri burchakli dekart koordinatalar sistemasidagi tenglamasini chiqarish uchun tekislikda to‘g‘ri burchakli dekart koordinatalar sistemasi o‘qlarini maxsus joylashtiramiz.
Chunonchi, absissa o‘qini fokus orqali direktrissaga perpendikulyar qilib o‘tkazamiz.
Koordinatalar boshini fokus bilan direktrisa orasidagi masofaning o‘rtasiga joylashtiramiz.
Tekislikdagi ixtiyoriy N nuqtaning koordinatalarini x,y deb olamiz. (1) tenglikdan r va q oz‘garuvchilarni ularning x,y koordinatalari bilan berilgan ifodalarga almashtirish kerak. F fokusning koordinatalari ( , 0) ekanligini e’tiborga olib ushbuni topamiz;
FN=r= (2)
N nuqtadan d direktrissaga tushirilgan perpendikulyarning asosini M bilan belgilaymiz. M nuqtaning koordinatalari (- ,y) ekanligi ravshan. Bundan ushbu tenglamaga ega bo‘lamiz;
NM=q =x+ (3)
(ildiz chiqarishda x+ ni o‘z ishorasi bilan oldik, chunki x musbat son). Bu N(x,y) nuqta direktrissasining fokus tomonida bo‘lishdan kelib chiqadi, ya’ni, x>- bo‘lishi kerak, bundan x+ >0. (1) tenglikda r va q larning (2) va (3) ifodalari bilan almashtirsak,
=x+ (4)
Bu parabolaning to‘g‘ri burchakli dekart koordinatalar sistemasidagi tenglamasidir. Chunki, N(x,y) nuqtaning koordinatalari N nuqta berilgan parabolada yotgan holdagina tenglamani qanoatlantiradi.
Parabola tenglamasini sodda ko‘rinishga ya’ni, kanonik ko‘rinishga keltirish uchun (4) tenglamani ikkala qismini kvadratga ko‘taramiz.
x²-px+ +y²=x²+px+ (5)
yoki y²=2p (6)
(6) tenglamani (4) ning natijasi sifatida keltirib chiqardik. O‘z navbatida (4) tenglamani ham (6) tenglamaning natijasi sifatida chiqarish mumkinligini ko‘rsatish oson. Haqiqadan, (6) tenglamadan to‘g‘ridan-to‘g‘ri (5) tenglama keltirib chiqariladi. So‘ngra (5) tenglamadan ushbu tenglik hosil bo‘ladi;
=(x+ )
Agar x,y (6) tenglamani qanoatlantirsa, bu yerda faqat musbat ishora olishini ko‘rsatish kerak. Ammo bu ravshan chunki, (6) tenglamadan
x= , demak, x>0, shu sababli x+ musbat sondir. Biz (4) tenglamaga kelamiz.
(4) va (6) tenglamalarning har biri ikkinchisining natijasi bo‘lganligidan ular ekvivalentdir.
Bunda (6) tenglama parabola tenglamasi bo‘ladi degan natijaga kelamiz. Bu tenglamani parabolaning kanonik tenglamasi deyiladi.

Yuqoridagi (6) tenglama bilan berilgan parabola xossalarini o‘rganib tasvirini yasaymiz.

1⁰. y²>0 va p>0 bo‘lgani uchun (6) tenglamada x0 bo‘lishi kerak. Bundan porabolaning barcha nuqtalari O_y o’qdan o‘ng yarim tekislikda yotishi kelib chiqadi.
2⁰. Agar x=0, (6) dan y=0 ekanligi kelib chiqadi. Parabola koordinatalar boshidan o‘tadi. Koordinatalar boshi parabolaning uchi deyiladi.
3⁰. O‘zgaruvchi x>0 qiymatiga y ning ishoralari qarama-qarshi, ammo absolyut miqdori teng bo‘lgan ikki qiymati mos keladi. Bundan parabolaning Ox o‘qqa nisbatan simmetrik ekanligi aniqlanadi. Ox o`qi parabolaning simmetriya o‘qi deyiladi.
(6)  y= , bundan ko‘rinadiki, x ortib borsa, |y| ham ortib boradi. Ya’ni x+ , |y|+ . Ko‘rsatilgan xossalarga asoslanib parabolaning shaklini chizamiz (2-chizma).



Parabolaning tenglamasini hosil qilish uchun dekart koordinatalar sistemasini maxsus tanlandi.
Agar dekart koordinatalar sistemasini boshqacha tanlab olsak, albatta parabola tenglamasi ham (6) ko‘rinishdan farq qiladi.
Agar parabola tenglamasi x²=2py ko‘rinishda bo‘lsa, koordinatalar sistemasiga nisbatan 3-chizmada ko‘rsatilgandek joylashgan bo‘ladi.
Agar parabola tenglamasi y²=-2px, x²=-2py ko‘rinishda bo‘lsa, koordinatalar sistemasiga nisbatan mos ravishda 4- va 5-chizmalarda ko‘rsatilgandek joylashgan bo‘ladi.