Parabola va uning kanonik tenglamasi, xossalari

Kurs ishining vazifalari:
1.Mavzuga doir ma’lumotlarni to‘plash va aniq rejani shakllantirish;
2.Geometriya fanini kelib chiqishi haqida ma’lumot berish;
3.Ikkinchi tartibli chiziqlar;
4.Parabolaning kanonik tenglamasi , xossalari mavzusini yoritib berish.

1.Ikkinchi tartibli chiziqlar haqida umumiy ma’lumot.

(Aylana, parabola, giperbola)

Analitik geometriyada ko‘riladigan ikkinchi tartibli chiziqlarga parabola, giperbola, aylana va ellips kiradi. Ikkinchi tartibli ixtiyoriy chiziq umumiy holda ikkita o‘zgaruvchili ikkinchi darajali tenglama yordamida keltiriladi:
Ax² + 2Bxy + Cy² + 2Dx + 2Ey + F = 0 (1)
A, B va C koeffistientlar nolga teng emas. Yuqorida nomlari qayd etilgan ikkinchi tartibli chiziqlar keltirilgan tenglamaning xususiy hollari.
Parabola
Parabola tenglamalari (1)gi ikkinchi tartibli chiziqlar tenglamalaridan hosil bo‘ladi. Qachonki B koeffitsienti 0 teng bo‘lsa va A yoki C koeffitsient ham 0 teng bo‘lsa.
Masalan, A=0 va C≠0, unda
Cy² + Dx + Ey + F = 0 (2)
Bu parabola tenglamasi simmetriya o‘qi bilan va ordinata o‘qiga perpendikulyar.
Agar A≠0, C=0 u holda:
Ax² + Dx + Ey + F = 0 (3)
Bunda parabola tenglamasi simmetriya o‘qi bilan va absissa o‘qiga perpendikulyar.
(2) va (3) tenglamalar o‘zi bilan parabolani umumiy tenglamalarini keltiradi.
Parabolani kanonik tenglamalari:
Y² = 2px, qayerda p – parabola parametri;
X² = 2py – o‘qi vertikal joylashgan parabola uchun.

Parabolani sxematik ko‘rinishi 1-rasmda keltirilgan.

Giperbola
Ikkinchi tartibli chiziq (1) giperbola deb ataladi agar A va C koeffitsientlar qarama-qarshi belgilarga ega bo‘lishsa, ya’ni AC<0.
Giperbola tenglamasining kanonik ko‘rinishi quydagicha:

Bu yerda: c – koordinatalar boshidan fokuslargacha bo‘lgan masofa;
a - koordinatalar boshidan giperbolaning fokuslarigacha bo‘lgan masofa.
Oddiy holatda giperbola tenglamasi quydagicha:

Giperbola, parabola o‘xshash ko‘riladi.


Aylana
Aylananing umumiy tenglamasi quyidagi ko‘rinishga ega:
Ax² + Ay² + 2Dx + 2Ey + F = 0 (4)
Odatda, (4) umumiy tenglama aylamalar normal tenglamalari holatiga keltiriladi:
x² + y² = R²
Bu aylana tenglamasida markaz koordinatalar boshida R radiusi bilan.
(x – a)² + (y – b)² = R²
Bu aylana tenglamasi (a; b) markazi bilan.
Aylana qurish masalasi parabola va giperbolalarga nisbatan farqlanadi, negaki tenglamani y=f(x) ko‘rinishiga keltirish kerak.

1. 
   x²+y² = R² yuqori aylanasini x=[-3(0,2)3], R=3 diapazonida quring.
   

_{Aylanani qurish uchun (}x va y) Avvalambor tenglamani y ga nisbatan yechish lozim: