Parabola va uning kanonik tenglamasi, xossalari

2.Parabolaning ta’rifi.
Tekislikda biror dekart koordinatalar sistemasida
a₁₁x² + 2a₁₂xy+ a₂₂y² + 2a₁₃x + 2a₂₃y+ a₃₃ =0 (1)
tenglama berilgan bo’lsin. Bu yerda: a₁₁, a₁₂, a₂₂ koeffitsientlarning kamida bittasi noldan farqli bo‘lishi lozim.
Bu shartni a²₁₁ + a²₁₂ + a²₂₂ > 0 ko‘rinishda yozish mumkin.
Ta’rif 1. Tekislikda koordinatalari (1) tenglamani qanoatlantiruvchi nuqtalar to’plami ikkinchi tartibli chiziq deyiladi.


Misollar.
1) Tekislikda koordinatalari x² + y² =0 tenglamani qanoatlantiruvchi nuqtalar to‘plami faqat bitta nuqtadan iborat.
2) Tekislikda koordinatalari x² − y² =0 tenglamani qanoatlantiruvchi nuqtalar to‘plami ikkita to‘g‘ri chiziqdan iborat.
3) Tekislikda koordinatalari x*y −1 = 0 tenglamani qanoatlantiruvchi nuqtalar to‘plami ikki qismdan iborat va maktab kursidan ma‘lumki, u giperbola deb ataldi.
Ta’rif 2. Ikkinchi tartibli chiziq tenglamasini biror dekart koordinatalar sistemasida y²=2px, p >0 (2) ko‘rinishda yozish mumkin bo’lsa, u parabola deb ataladi.
Tenglamadagi p soni parabola parametri deyiladi.


Misol.1. Biz maktab kursida y = x² tenglama bilan berilgan parabolani yaxshi bilamiz. Bu tenglamani kanonik ko‘rinishga keltirish uchun x′ = y, y′ = x almashtirish bajaramiz.
Natijada y′² = 2• x′ tenglamani hosil qilamiz. Bu yerda: p =


Misol.2. y = a + bx + c tenglama bilan berilgan parabolani chizing va tenglamasini kanonik ko‘rinishga keltiring.
Biz ikkinchi tenglamani tekshirish yordamida parabolaning xossalarini
o‘rganamiz va uni chizamiz. Tenglamadan ko‘rinib turibdiki, agar (x, y)
koordinatali nuqta parabolaga tegishli bo‘lsa, (x,−y) nuqta ham parabolaga
tegishli bo’ladi. Demak parabola Ox o‘qiga nisbatan simmetrik
joylashgandir. Bundan tashqari koordinata boshi parabolaga tegishli, x
manfiy qiymatlarni qabul qilmaganligi uchun parabola Oy o‘qining o‘ng
tomonida joylashgan. Bu mulohazalardan foydalanib biz chizmada
parabolani quyidagi ko‘rinishda tasvirlashimiz mumkin.