Parabola va uning kanonik tenglamasi, xossalari

Teorema. Ushbu (3) tenglama simmetriya o‘qi ordinatalar o‘qiga parallel va uchi nuqtada bo‘lgan parabolaning tenglamasidir.
Isbot. (3) tenglamaning o‘ng tomonida to‘la kvadrat ajratamiz.
+
Bundan
=a . (4)
Dekart reperining koordinatalar boshini nuqtaga



(5)

formula bo‘yicha parallel ko‘chiramiz. Yangi reperda (5) tenglama quyidagi ko‘rinishni oladi:

yoki .
Ushbu belgilashni kiritish bilan
(6)
tenglamaga ega bo‘lamiz. (6) tenglama simmetriya o‘qi O o‘q va uchi
nuqtada bo‘lgan parabolani ifodalaydi.
Bu yerda O || Oy .
Shunday qilib, parabolani yasash uchun
Parabolani yasab, uning uchini nuqta ustiga tushguncha parallel ko‘chirish kerak.

7-chizmada (6) parabolaning a parametri musbat bo‘lgan holida,

8-chizma (6) paraboalning a parametri manfiy bo‘lgan hollari uchun parabola tasvirlangan.
Misol.4. y= x²+2x+3 parabola tenglamasini kanonik ko‘rinishga keltiring va yangi koordinatalar boshining koordinatalarini toping.
Yechish. Berilgan tenglamani ushbu ko‘rinishda yozamiz.
y= (x+2)²+1 yoki y-1= (x+2)²
Koordinatalar boshini
X=x’-2
Y=y’+1
Parallel ko‘chirish yordamida OO’(-2,1) nuqtaga ko‘chiramiz. Yangi koordinatalar sistemasida parabola tenglamasi
Y’= x’² yoki x’²=2y’
kanonik ko‘rinishga ega bo‘ladi.
Parabolaning xossalari:
Parabolaning ixtiyoriy nuqtasidan direktrissagacha bo‘lgan masofa fokusgacha bo‘lgan masofaga tengdir.
Parabola nuqtasidan nuqtagacha bo‘lgan masofani r bilan, direktisagacha bo‘lgan masofani d bilan belgilab r = d tenglikni isbotlaymiz.
=
ifodada tenglikdan foydalansak va x ≥ 0 munosabatni hisobga olsak,
= formulani hosil qilamiz.
Direktrissagacha bo’lgan masofani hisoblash uchun nuqtadan to‘g‘ri
chiziqqacha bo‘lgan masofa formulasidan foydalanib

tenglikni hosil qilamiz.
2 . Parabolaning geometrik aniqlanishi.
Berilgan to‘g‘ri chiziq va unda yotmaydigan nuqtadan bir xil uzoqlikda joylashgan nuqtalar to’plami paraboladir.
Tekislikda l to‘g‘ri chiziq va unga tegishli bo‘lmagan F nuqta berilgan
bo‘lsin. Berilgan F nuqtadan l to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan masofani p bilan belgilab va F nuqtadan l to‘g‘ri chiziqqa perpendikulyar ravishda o‘tuvchi to‘g‘ri chiziqni abssissa o‘qi sifatida olib koordinatalar sistemasini kiritamiz.
Abssissa o’qining musbat yo’nalishi l to‘g‘ri chiziqdan F nuqta tarafga yo‘nalgan, koordinata boshini l to‘g‘ri chiziq va F nuqta o‘rtasiga quyidagi chizmadagi kabi joylashtiramiz. Ordinata o‘qi esa l to‘g‘ri chiziqqa paralleldir.

Natijada l to‘g‘ri chiziq: tenglamaga, F nuqta esa koordinatalarga ega bo‘ladi. Tekislikning M (x, y) nuqtasidan l to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan masofaning shu nuqtadan F nuqtagacha bo‘lgan masofaga tengligidan tenglamani hosil qilamiz.


Xulosa
Ma’lumki, geometriyani o‘qitishdan maqsad - tekislikdagi va fazodagi shakllarning xossalarini sistemali ravishda o‘rgatish va bu xossalarni hisoblash yo‘li bilan yechiladigan hamda konstruktiv xarakterdagi masalalarni yechishda qo‘llanish yo‘li bilan o‘quvchining fazoviy tasavvurlarini, mantiqiy tafakkurlarini rivojlantirish, hosil qilingan bilimlarni yer ustidagi o‘lchashda, har xil qurilmalarni sirtlarini va hajmlarini aniqlashda va shuning kabi amaliy ishlarni bajarishda foydalanishni o‘rgatishdir.
Bugungi kunda geometrik figuralarga qo‘yilayotgan masalalarni hal qilishda turli usullardan foydalanilmoqda. Shulardan o‘quvchilarning dunyoqarashini, tasavvur doirasini kengaytirish maqsadida figuralarni qandaydir shartlarni qanoatlantiruvchi nuqtalarning geometrik o‘rni sifatida qarash qo‘yilgan masalani yechishni ancha osonlashtiradi. Kurs ishida ikkinchi tartibli chiziqlardan parabolaning xossalarini kundalik turmushdagi muammolarni hal qilishda muhim ahamiyatga ega ekanligini asoslab berildi. Ayniqsa, ikkinchi tartibli chiziq bo‘lmish parabolaning fokuslari va eksentrisitetiga oid xossalar amaliyotda va texnikada keng qo‘llaniladi. Jumladan, agar yoritgich parabolaning fokusiga joylashtirilganda undan chiqqan nurlar parobala devoriga urilib singandan keyin parabola simmetriya o‘qiga parallel holda yo‘nalishi yoki paraboloid devoriga urilgan to‘lqinlar fokusda yig‘ilishi shular jumlasidandir.
Ushbu kurs ishidan geometriya faniga qiziquvchi o‘qituvchilar va o‘quvchilar samarali foydalanishi mumkin.