Parametrga bog`liq bo`lgan xos integrallar va ularning funksional xossalari

3-Ta`rif. to`plamda berilgan funksiyaning dagi limit funksiyasi bo`lsin. Agar uchun topilsaki, tengsizlikni qanoatlantiruvchi lar uchun

bo`lsa, funksiya o`z limit funksiyasi ga da tekis yaqinlashadi deyiladi.
4-Ta`rif. to`plamda berilgan funksiyaning dagi limit funksiyasi bo`lsin. Agar , olinganda ham va tengsizlikni qanoatlantiruvchi topilsaki, ushbu

tengsizlik o`rinli bo`lsa, u holda funksiya ga notekis yaqinlashadi deyiladi.
1-Teorema. (Koshi kriteriyasi) funksiya da limit funksiya ga ega bo`lib, unga tekis yaqinlashishi uchun quyidagi shartning bajarilishi zarur va yetarlidir: uchun topiladiki, , tengsizliklarni qanoatlantiruvchi hamda uchun

tengsizlik bajariladi.
Endi parametrga bog`liq integrallarning funksional xossalarini keltiramiz.
2-Teorema. Agar

1. 
   fiksirlangan uchun
   
2. 
   da funksiya ga tekis yaqinlashsa,
   

u holda
(5)
bo`ladi.
3-Teorema. Agar funksiya

to`plamda uzluksiz bo`lsa, u holda

funksiya kesmada uzluksiz bo`ladi.
4-Teorema. Aytaylik funksiya

to`plamda aniqlangan va

1. 
   fiksirlangan uchun
   
2. 
   va
   

bo`lsin. U holda kesmada mavjud va ushbu
(6)
tenglik o`rinli bo`ladi.
5-Teorema. Agar funksiya 3-teorema shartlarini qanoatlantirsa, unda integral mavjud va
(7)
munosabat o`rinlidir.
Endi umumiy ko`rinishda berilgan parametrga bog`liq integrallarni keltiramiz.
Faraz qilaylik, funksiyalar da aniqlangan bo`lib, uchun
(8)
munosabat bajarilsin.
6-Teorema. funksiya ushbu

to`plamda aniqlangan bo`lib,

1. 
   
   
2. 
   
   

bo`lsin. U holda
(9)
funksiya ham oraliqda uzluksiz bo`ladi.
7-Teorema. (Leybnis formulasi) Agar

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   va
   

bo`lsa, u holda funksiya ham oraliqda hosilaga ega va
(10)
munosabat o`rinlidir.
6-teorema shartlari bajarilgan holda funksiyaning oraliqda integrallanuvchi ekanligi kelib chiqadi va (9)-funksiya uchun ham (7)-tenglik kabi tenglik o`rinli bo`ladi.
5⁰ Parametrga bog`liq xosmas integrallar va ularning tekis yaqinlashishi
funksiya

to`plamda berilgan bo`lib, fiksirlangan uchun

mavjud va chekli bo`lsin. Bu integral u ning qiymatiga bog`liqdir.
(11)
(11)-integralga parametrga bog`liq I-tur xosmas integral deyiladi.
Xuddi shu kabi
va
parametrga bog`liq bo`lgan I-tur xosmas integrallarning ta`rifini berish mumkin.
Endi funksiya

to`plamda berilgan bo`lib, fiksirlangan da nuqta funksiyaning maxsus nuqtasi bo`lsin va bu funksiya oraliqda integrallanuvchi, ya`ni

xosmas integral mavjud bo`lsin. Unda
(12)
integralga parametrga bog`liq bo`lgan II-tur xosmas integral deyiladi.
Xuddi shunga o`xshash nuqta maxsus nuqta bo`lgan parametrga bog`liq bo`lgan II-tur xosmas integralga ta`rif berish mumkin.
Umumiy holda, parametrga bog`liq chegaralanmagan funksiyaning chegarasi cheksiz xosmas integrali tushunchasi ham yuqoridagidek kiritiladi.
Biz asosan (11)-xosmas integralning xossalarini o`rganish bilan shug`ullanamiz.
Aytaylik, funksiya to`plamda aniqlangan bo`lib, fiksirlangan uchun

bo`lsin. da
(13)
integral mavjud va
(14)
(14)-tenglikdan ko`rindiki funksiya funksiyaning dagi limit funksiyasi bo`ladi.
1-Ta`rif. Agar da funksiya E to`plamda o`z limit funksiyasi ga tekis yaqinlashsa u holda (11)-integral E to`plamda tekis yaqinlashuvchi, notekis yaqinlashganda esa notekis yaqinlashuvchi deyiladi.
Shunday qilib, integralning Ye to`plamda tekis yaqinlashuvchi bo`lishi quyidagini anglatadi:

1. 
   uchun xosmas integral yaqinlashuvchi;
   
2. 
   uchun va uchun
   

tengsizlik bajariladi.
integralning E to`plamda notekis yaqinlashuvchi ekanligi esa quyidagini anglatadi:

1. 
   uchun xosmas integral yaqinlashuvchi;
   
2. 
   olinganda ham va topiladiki,
   

bo`ladi.
Misol. parametrga bog`liq integral a) va b) oraliqlarda tekis yaqinlashishga tekshirilsin.
a) uchun yaqinlashuvchi.
Endi berilgan integralni tekis yaqinlashuvchanlikka tekshiramiz. bo`lsin. Agar uchun va deb olsak, u holda

bo`ladi. integral da notekis yaqinlashadi.
b) Endi integralni to`plamda tekis yaqinlashuvchanlikka tekshiramiz. olamiz.
deb olsak, tekis yaqinlashish ta`rifidagi shartlar bajarilar ekan. integral oraliqda tekis yaqinlashadi.
2-Ta`rif. Agar uchun ni qanoatlantiruvchi va uchun

tengsizlik bajarilsa, unda (11)-xosmas integral Ye to`plamda fundamental integral deyiladi.
1-Teorema (Koshi). integralning Ye to`plamda tekis yaqinlashuvchi bo`lishi uchun uning Ye to`plamda fundamental bo`lishi zarur va yetarlidir.
Bu teorema nazariy ahamiyatga ega bo`lib, undan amaliyotda foydalanish ancha qiyin.