17-Ma’ruza Egri chiziqli integrallar va ularni hisoblash. Ma’ruza rejasi

4-Misol. 
, , tengliklar bilan aniqlanuvchi vint chizig‘ining 
( ) nuqtadagi zichligi ( ) funksiya bilan aniqlansa, chiziq 
birinchi buramasining og‘irlik markazi koordinatalarini toping. 
► Hosilalarni topamiz: 
,
,
. U holda (15) formulaga 
ko‘ra cgiziq massasini hisoblaymiz 
√
√
√
|
√
(16) formulalarga ko‘ra chiziqning 
, va tekisliklarga nisbatan statik 
momentlarni hisoblaymiz 
( )
√
√
√
|
√
( )
√ √
|
| √
|
√
√ |
( )
√ √
|
| √
|
√
√
Og‘irlik markazining koordinatalarini (20) formulaga ko‘ra topamiz: 

---

√
√
√
√
√
Shunday qilib, egri chiziqning og‘irlik markazi 
( ) nuqtada ekan.◄ 
II tur egri chiziqli integral. Kuchning bajarilgan ishi. Moddiy nuqta biror egri 
chiziq bo‘ylab harakatlanganda unga ta’sir qiluvchi o‘zgaruvchan kuchning 
bajargan ishini hisoblash II tur egri chiziqli integral tushunchasiga olib keladi. 
( ) nuqta egri chiziq boylab nuqtadan nuqtaga qarab kuch 
ta’sirida harakatlanayotgan bo‘lsin. 
kuch nuqta harakatlanganda qiymati 
bo‘yicha ham, yo‘nalishi bo‘yicha ham o‘zgaradi, ya’ni 
nuqtaning 
funksiyasidan iborat: 
( ) nuqta holatdan holatga o‘tganda kuch 
bajargan 
̃ ishni hisoblaymiz (4-rasm). Buning uchun egri chiziqni
,
,…, 
nuqtalar yordamida 
nuqtadan nuqtaga 
qarab 
ta qismga ajratamiz va
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 
vektorni 
orqali belgilaymiz. 
kuchning
nuqtadagi qiymatini 
orqali belgilaymiz. U 
holda 
skalyar ko‘paytmani 
kuchning
̆
yoy boylab bajargan ishining taqribiy 
qiymati sifatida olish mumkin: 
̃
. 
( ) va ( ) funksiyalar
kuchning mos ravishda 
va o‘qlardagi
proyeksiyalari bo‘lsin, ya’ni
( ) ( )  
va 
orqali 
va 
koordinatalarning 
nuqtadan 
nuqtaga o‘tganda olgan orttirmalarini 
belgilaymiz, ya’ni 
, 
va natijada 
 
tenglikka ega bo‘lamiz. U holda 
( 
)
( 
)
bo‘ladi. Shuning uchun 
kuchning butun egri chiziq bo‘ylab bajargan ̃ ishi 
taqriban 
̃
, ( 
)
( 
)
- (21) 
yig‘indiga teng bo‘ladi. 
II tur egri chiziqli integral ta’rifi. 
tekislikda egri chiziq berilgan va 
( ), ( ) funksiyalar bu egri chiziqda aniqlangan bo‘lsin. egri chiziqni 
,
, …, 
nuqtalar yordamida nuqtadan nuqtaga qarab 
yo‘nalishda uzunliklari 
( ) bo‘lgan ta
̆
yoylarga 
ajratamiz. Har bir 
̆
elementar yoyda ixtiyoriy ravishda 
( 
) nuqta 
tanlaymiz va 
 
4-rasm 

---

( 
)
,
( 
)
(22) 
yig‘indilarni tuzamiz, bu yerda 
, 
bo‘lib, ular 
̆
yoyning mos ravishda 
va o‘qlardagi proyeksiyalari (13.6-rasm). 
(22) yig‘indilar mos ravishda 
( ) funksiyaning o‘zgaruvchi bo‘yicha 
va 
( ) funksiyaning o‘zgaruvchi bo‘yicha integral yig‘indilari deb ataladi.