17-Ma’ruza Egri chiziqli integrallar va ularni hisoblash. Ma’ruza rejasi

2-Ta’rif. Agar 
yoy uzunliklarining 
eng kattasi nolga intilganda 
(22) yig‘indilar chekli limitga intilsa va bu limit 
yoyning bo‘linish usuliga va 
( 
) nuqtalarning tanlanishiga bog‘liq bo‘lmasa, ularni mos ravishda ( ) 
funksiyadan 
o‘zgaruvchi bo‘yicha va ( ) funksiyadan o‘zgaruvchi 
bo‘yicha olingan II tur egri chiziqli integrallar deb ataymiz va ullarni mos 
ravishda 
( ) va
( )
orqali belgilaymiz. 
Shunday qilib 
( )
( 
)
va 
( )
( 
)
. 
Umumiy ko‘rinishdagi 
( ) ( ) II tur egri chiziqli integral 
( ) ( )
( )
( )
tenglik bilan aniqlanadi. 
Endi kuchning bajargan ishi masalasiga qaytadigan bo‘lsak (21) taqribiy 
tenglikning o‘ng tomonida 
( ) va ( ) funksiyalarning egri chiziq 
bo‘ylab umumiy ko‘rinishdagi II tur egri chiziqli integral yig‘indilari turibdi. 
Shuning uchun yoy uzunliklarining 
eng kattasi nolga intilganda bu 
taqribiy tenglik aniq tenglikka aylanadi va 
( ) ( ) kuch bajargan 
ishning qiymati
̃
( ) ( )
tenglik bilan topiladi. 
Fazoviy 
egri chiziq boylab 
( ) ( )
( ) egri chiziqli integral xuddi shu singari aniqlanadi. 
II tur egri chiziqli integralning mavjudligi va uni hisoblash. 
yassi chiziq 
( ) ( ) , - 
parametrik tenglama bilan berilgan bo‘lsin, bu yerda 
( ) ( ) funksiyalar , - 
kesmada uzluksiz. Parametrning 
qiymatiga nuqta, qiymatiga esa
nuqta mos keladi deb faraz qilamiz. 
2-Teorema. Agar 
egri chiziqni tasvirlovchi ( ) va ( ) funksiyalar uzluksiz 
differensiallanuvchi, 
( ) va ( ) funksiyalar esa egri chizqda uzluksiz 
bo‘lsa, 
( ) va ( ) funksiyalardan egri chizq boylab olingan umumiy 
ko‘rinishdagi II tur egri chiziqli integral mavjud va uning uchun 

---

( ) ( )
[ ( ( ) ( )) 
( ) ( ( ) ( )) 
( )]
(23) 
tenglik o‘rinli bo‘ladi. 
Agar 
egri chiziq ( ) , - tenglama bilan berilgan va ( ) 
funksiya va uning 
( ) hosilasi , - kesmada uzluksiz bo‘lsa, o‘zgaruvchini 
parametr sifatida olamiz, natijada 
egri chiziqning parametrik tenglamasi: 
( ) , - ko‘rinishda bo‘ladi. U holda (23) formuladan 
( ) ( )
[ ( ( )) ( ( )) 
( )] (24) 
formulani hosil qilamiz. Xususiy holda 
( )
( ( )) (25) 
Agar fazoviy silliq 
egri chiziq ( ) ( ) ( ) , - 
tenglamalar bilan berilgan bo‘lsa, egri chiziqli integral 
( ) ( ) ( )
[
(
(
)
(
)
( )
)
(
)
(
(
)
(
)
( )
)
(
)
(
(
)
(
)
( )
)
(
)]
(26) 
formula bilan hisoblanadi.
5-Misol. 
egri chiziqli integralni hisoblang, bu yerda 
integrallash 
,
, 
egri chiziqning 
( ) va ( ) nuqtalar 
orasidagi qismi boyicha olingan. 
►Hosilalari: 
( ) ,
( ) ,
( )
bo’ladi. U holda (27) formulaga 
ko‘ra 
(
)
(
)
|
◄