Umumiy o‘rta ta’lim maktablarining 7- sinfi uchun darslik

53

BIRHADLAR VA KO‘PHADLAR
Natural ko‘rsatkichli daraja
Teng sonlarni qo‘shishni ko‘paytirish bilan almashtirish
mumkin:
+ + + + = ×
1442443
5 marta
3 3 3 3 3 3 5
+ + + + + = ×
144424443
marta
...
n
a a a a
a a n
Bir xil sonlarning ko‘paytmasini ham ko‘p hollarda ix-
chamroq yozuv bilan almashtirish maqsadga muvofiq bo‘-
ladi. Tomonining uzunligi 5 birlikka teng kvadratni qaraylik
(6- rasm). U 5 · 5 = 25 ta birlik kvadratdan iborat. Tomonining
uzunligi 5 birlikka teng kub (7- rasm) esa 5 · 5 · 5 = 125 ta birlik
kubni o‘z ichiga oladi.
Sizga ma’lumki, 5 · 5 ko‘paytma 5
2
(o‘qilishi: „beshning
kvadrati“); 5 · 5 · 5 ko‘paytma esa 5
3
(o‘qilishi: „beshning
kubi“) kabi belgilanadi:
5 · 5
=
5
2
, 5 · 5 · 5
=
5
3
.
Xuddi shu kabi, ko‘paytuvchilari bir xil sonlardan iborat
ko‘paytmani yangi amal — 
darajaga ko‘tarish
amali bilan
almashtirish mumkin:
× × × × =
14243
5
5 marta
3 3 3 3 3 3 ,
× × ×
×
=
14243
9
1 1 1
1
1
...
7 7 7
7
7
9 marta
,
0,4 = (0,4)
1
.
Umuman, 
n
ta teng ko‘paytuvchining ko‘paytmasini belgi-
lash uchun 
a
n
yozuvidan foydalaniladi:
× × × × × =
1442443
marta
...
.
n
n
a a a a
a a
9-

---

54
6- rasm.
7- rasm.
U bunday o‘qiladi: „
a
sonning 
n
ko‘rsatkichli darajasi“.
Odatda, qisqacha qilib: „
a
ning 
n
- darajasi“ deb aytiladi.
a
sonning
n
natural ko‘rsatkichli darajasi deb, har biri a ga teng
bo‘lgan n ta ko‘paytuvchining ko‘paytmasiga aytiladi:
= × × × ×
144244
3
marta
...
n
n
a
a a a
a
a 
son (takrorlanuvchi ko‘paytuvchi)
darajaning asosi,
n 
son (ko‘paytuvchi necha marta takrorlanishini ko‘rsa-
tuvchi son)
daraja ko‘rsatkichi 
deyiladi.
Masalan,
3
4
= 3 · 3 · 3 · 3 = 81,
bu yerda 3
—
darajaning asosi, 4
—
daraja ko‘rsatkichi, 81 esa
3
4
— 
darajaning qiymati.
Xususan, sonning birinchi darajasi deb, shu sonning o‘ziga
aytiladi:
a
1 
=
a
.
Masalan, 
=
=
=
1
1
1
1
1
7
7
5
5,
25
25,
.
Darajaning asosi istalgan son bo‘lishi mumkinligini aytib
o‘tamiz, masalan,
× ×
= × × × × =
=
=
3
5
2 2 2
8
2
5
5 5 5
125
2
2 2 2 2 2 32;
;
-
= - × - × - × - × -
= -
5
( 2)
( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2)
32;
-
= -
× -
× -
× -
=
4
2
2
2
2
2
16
3
3
3
3
3
81
;
=
×
×
=
3
0,2
0,2 0,2 0,2 0,008;
-
= - × - × - × - × - × - =
6
( 1)
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1;
= × × =
=
×
×
×
=
3
4
0
0 0 0 0; 10
10 10 10 10 10 000.

---

55
Darajaga ko‘tarish amali – uchinchi bosqich amal. Agar
ifodada qavslar bo‘lmasa, u holda avval uchinchi bosqich
amallar, keyin ikkinchi bosqich amallar (ko‘paytirish va bo‘-
lish), va nihoyat, birinchi bosqich amallar (qo‘shish va ayi-
rish) bajarilishini eslatib o‘tamiz.
Masala.
Hisoblang: 7 · 2
4
-
5 · 3
2
.
7
· 2
4
-
5 · 3
2 
= 7 · 16
-
5 · 9 = 112
-
45 = 67.
Sonlarni daraja yordamida yozishdan juda ko‘p hollarda,
masalan, natural sonlarni xona qo‘shiluvchilari yig‘indisi
shaklida yozish uchun foydalaniladi:
= ×
+ ×
+ ×
+ = ×
+ ×
+ ×
+
3
2
.
3245 3 1000 2 100 4 10 5 3 10
2 10
4 10 5
Katta sonlarni yozish uchun ko‘pincha 10 sonining daraja-
lari qo‘llaniladi. Masalan, Yerdan Quyoshgacha bo‘lgan masofa
taxminan 150 mln km ga teng bo‘lib, uni 1,5·10
8
km shaklida
yoziladi: Yer sharining radiusi taqriban 6,37 mln. m ga teng, u
6,37·10
6
m kabi yoziladi; Yerdan eng yaqin yulduz (Sentavr-
ning 
a
si)gacha bo‘lgan masofani 4·10
13
km shaklida yoziladi.
10 dan katta bo‘lgan har bir sonni 
a ·
10
n
shaklida
yozish mumkin, bunda 1
£
a
< 10 va 
n
–
natural son.
Bunday yozuv 
sonning standart shakli
deyiladi.
Masalan,
4578 = 4,578 · 10
3
, 45,78 = 4,578 · 10, 103000 = 1,03 · 10
5
.
Fizika va kimyo fanlarini o‘rganishda, mikrokalkulatorda
hisoblashlarda va boshqa ko‘p hollarda sonning standart
shakldagi yozuvidan foydalaniladi.
Yig‘indini ko‘paytma shaklida yozing