72
(23) tenglama ko‗rsatadiki, bu xulosa t
[t
i
, t
i+1
] bo‗lgan holda kuchga ega. Yopiq egri
chiziqni qurish uchun p
-1
= p
m
, p
-2
= p
m-1
va shu kabi, bundan tashqari t
-1
= t
m
, t
-2
=
t
m-1
va shu kabi qiymatlarni berish etarli.
(23) tenglamadan kelib chiqadiki, orientir-nuqtalar bo‗yicha qurilgan splaynlar
eng ko‗pi bilan m ta nuqtadan lokal bog‗liq bo‗lganligi bilan interpolyatsion
splaynlardan farq qiladi.
4.3.4. Obyektlar shaklini tasvirlash va V-splaynlar
Egri chiziq shaklini juda aniq tasvirlash muhim bo‗lgan amaliy
masalalar ham
tez-tez uchrab turadi. Bunday situatsiyaga oid misollardan biri kompyuter bilan
tutashtirilgan foto nabor qurilmalar uchun simvollar ko‗rinishini sintez qilish xizmat
qiladi. Ishlab chiqarilayotgan ayrim tizimlarda bu tipdagi simvollar unga mos kontur
kodidan tashkil etilgan vektorlar yordamida beriladi. So‗ng olingan kontur to‗ldirish
algoritmlarini biri to‗ldiriladi. Chiziqlarni tasvirlash uchun bu usul vektorlardan
foydalanishga asoslanganligi sababli simvollarning qiyofasi silliq ko‗rinish
uchun
bunday vektorlar juda ko‗p berish talab qilinadi. Bu holda konturga tegishli
nuqtalarni emas, balki faqat orientir-nuqtalarni berish bilan cheklanish mumkin
bo‗lganligi sababli nuqtalar bo‗yicha egri chiziqlarni yasash uchun splaynlardan
foydalanish bir necha qiziq imkoniyatlarni ochadi. Ko‗rsatilgan masalalarni echishda
foydalanish maqsadga muvofiq bo‗lgan formulalar quyidagi misolda keltirilgan.
Misol 4 birlashtiruvchi nuqtalar o‗rtasidagi masofalar
teng taqsimlangan hol
uchun kvadratik splayn shaklini qaraymiz. (28b) tenglamadan kelib chiqadiki, p(iL)
splaynning qiymati har doim (30a) tenglama bilan aniqlanadi, ya‘ni unga mos
keluvchi splayn orientir-nuqtalardan tashkil etilgan ko‗p
burchak tomonlarining
o‗rtalari orqali o‗tadi. (27b) tenglamani differentsiallash quyidagi natijani beradi:
.
)
2
(
2
1
1
2
i
i
i
i
i
P
P
u
P
P
P
P
u
(24)
Bu tenglmamga u = 0 yoki u = 1 qiymatlarni qo‗yish ko‗rsatadiki,
normallashtirilgan u o‗zgaruvchining bu qiymatlariga mos splayn orientir-nuqtalarda
73
yasalgan ko‗pburchakning tomonlariga urinadi. (23b) tenglama hadlarini qayta
guruhlashtirish quyidagi ifodaga olib keladi:
2
2
1
1
2
2
1
)
1
)(
(
2
1
)
(
2
)
(
2
1
)
(
u
p
p
p
u
u
u
p
p
u
p
i
i
i
i
i
(25)
u
2
+ 2(u – u
2
) + (u – 1)
2
yig‗indi birga teng bo‗lgani uchun, talab qilingan
splayn ko‗pburchak uchlaridan tashkil etilgan uchburchakning ichida yotadi. Bu
ko‗pburchakning o‗zi orientir-nuqtalar va bu uchga ikki yaqin tomonlarning o‗rta
nuqtalari bo‗yicha yasalgan.
Bu misolda qurilgan splaynning joylashishiga qo‗yilgan cheklanishlar 2-
tasdiqda aniqlanganlarga nisbatan yanada qattiqroq bo‗ladi. Shunday qilib, teng
oraliq tugunlarda joylashgan kvadratik splaynni obyektning
shaklini aniq tasvirlash
talab qilingan amaliy masalarni echishda foydalanish maqsadga muvofiq. Masalan,
juda kam sondagi eksperimental nuqtalarga tayanib, obyektning silliq ko‗rinishini
(qiyofasini) qayta hosil qilish talab qilinganda. Boshlang‗ich orientir-nuqtalarni
joylashishi va ular bo‗yicha qurilgan splayn tashkil etgan harflarningko‗rinishi
(qiyofasi) ko‗rsatilgan.
Bu harflar tasvirining tashqi konturi 12 nuqta va ikki ichki konturi 8 nuqta
bo‗yicha aniqlangan. Bunda ichki konturning har biri uchun 4
nuqtadan
foydalanilgan. Bu munosabatda kvadratik splaynlar kubik splaynlarga nisbatan
ustunroq bo‗lib, ular uchun orientir-nuqtalarning ko‗p burchagi bilan talab qilingan
egri chiziq o‗rtasidagi bog‗liqlik juda ham qattiq emas. Nazariy jihatdan qandaydir
berilgan egri chiziqni bir xil aniqlik darajasida appraksimatsiya
qilish uchun
kvadratik splaynlardan foydalanilganda kubik splaynlardan foydalanishga nisbatan
ko‗p tugunlarni soni hech qanday ahamiyatga ega emas. Ushbu izohning to‗g‗riligiga
ishonch hosil qilish uchun berilgan V harfining (yoki unga o‗xshash biror harfning)
konturini kubik splayn yordami bilan qurishga harakat qiling. Obyektning shakli
nuqtalar talab qilingan egri chiziqqa o‗tkazilgan urinmalar bilan berilgan amaliy
masalalarni echishda kubik splaynlardan foydalanish qulay.