Birinchi tartibli hosila uchun
ifodani inobatga olgan holda, songgi tenglikni
differensiallaymiz:
◄
Yuqori tartibli differensiallar
Yuqori tartibli differensiallarni ham hosilalar singari
quyi tartiblardan yuqori
tartiblarni aniqlaymiz.
funksiyaning
nuqtadagi
birinchi tartibli
differensialini oddiyroq qilib berilgan nuqtadagi birinchi differensial deb ataymiz.
Shunday qilib birinchi
differensial
mavjud bo‘lsin. O‘ng tomondagi faqat birinchi ko‘paytuvchigina
o‘zgaruvchiga
bog‘liq, ikkinchi ko‘paytuvchi
erkin
o‘zgaruvchining
orttirmasi va u
o‘zgaruvchiga bogliq emas. Demak
birinchi differensial
o‘zgaruvchining
funksiyasidan iborat ekan, shuning uchun bu funksiyaning differensiali to‘g‘risida
gapirish mumkin.
Agar
funksiyaning
nuqtadagi
differensialining
differensiali
mavjud bo‘lsa biz uni ikkinchi differensial (ikkinchi tartibli differensial) deb ataymiz va
uni
orqali belgilaymiz:
Ikkinchi differensial uchun ifoda topamiz. Differensialning aniqlanishiga ko‘ra
[
]
Qavs ichidagi
ko‘paytuvchi
o‘zgaruvchiga bog‘liq emas, shuning uchun uni hosila
belgisidan tashqariga chiqarish mumkin va natijada
tenglikka ega bo‘lamiz. Differensialning darajasini yozishda qavslarni yozmaslik qabul
qilingan, masalan,
o‘rniga
deb yozish qabul qilingan;
xuddi shu singari
o‘rniga
yoziladi va hokazo.
Ikkinchi differensialdan olingan differensial uchinchi differensial deb ataladi:
[
]
Bu jarayonni davom ettirib, ixtiyoriy
tartibli differensialni aniqlaymiz:
[
]
Differensialning har xil tartiblaridan foydalanib ixtiyoriy tartibli hosilani
differensiallar nisbati shaklida yozish mumkin:
Shunday qilib,
funksiyaning
nuqtada
tartibli differensialning
mavjud uchun, u bu nuqtada
marta differensiallanuvchi bo‘lishligi zarur ekan.
Agar
va
funksiyalarning
nuqtada
tartibli differensiallari mavjud
va
bo‘lsa,
va
(14)
tengliklar o‘rinli bo‘ladi. Ko‘paytmaning
tartibli hosilasi
uchun hosil qilingan
Leybnis formulasi
tartibli differensial uchun
ko’rinishda bo’ladi,
orqali
elementdan
tadan qilib guruhlashlar soni
belgilangan.
8-Misol.
√
funksiyaning
nuqtadagi
ikkinchi
tartibli differensialini
toping.
►
Funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasini topamiz:
√
√
U holda
√
◄
