Ovatsiyalar vazirligi islom karimov

Javob:
1
2
,
c
c
vektorlar kollinear emas. 
5-
§. Ikki vektor orasidagi burchak
 

---

11 
Agar 


, ,
A x y z
va 


, ,
B x y z
nuqtalar berilgan bo’lsa, ularni 
tutashtiruvchi 
AB
vektor quyidagicha aniqlanadi: 
2
1
2
1
2
1
(
,
,
).
AB x
x y
y z
z



 
Ta’rif. 
Ikki 
( ,
, )
x
y
z
a a a a
va 
( , , )
x
y
z
b b b b
vektorlarning skalyar 
k
o’paytmasi deb, shu vektorlarning uzunliklari va ular orasidagi burchak kosinusi 
k
o’paytmasiga aytiladi. Ta’rifga asosan 
cos
ab
a b


, u holda ular 
orasidagi burchak kosinusi 
2
2
2
2
2
2
cos
x x
y
y
z z
x
y
z
x
y
z
a b
a b
a b
ab
a b
a
a
a
b
b
b









formula bilan topiladi. 
5-misol
. 






2,3,4 ,
4,5,6 ,
1,3, 4
A
B
C


nuqtalardan tuzilgan 
AB
va 
AC
vektorlar orasidagi burchak kosinusi topilsin. 
 
Yechish.




2,2,2 ,
3,0, 8
AB
AC


bo’lgani uchun 
 
 
2
3 2 0 2
8
22
11
cos
4 4 4 9 0 64 2 3 3 7
3 21

 





 
 
 
; 
 
Javob:
11
3 21

. 
6-
§. Ikki vektor
yordamida yasalgan parallelogram yuzini hisoblash 
 
Ta’rif. 
a
vektorning 
b
vektorga 
vektor k
o’paytmasi
deb, shunday bir 
uchinchi 
c

vektorga aytiladiki: 
1) 
c

vektor kattaligi jihatdan 
a
 
va 
b
vektorlardan qurilgan parallelogram yuziga 
teng; 
2) 
c

vektor shu qurilgan parallelogram tekisligiga perpendikulyar yo’nalgan;
3) 
c

vektorning uchidan qaraganimizda 
a
vektordan 
b
vektorga eng qisqa 
yo’nalish soat strelkasiga teskari yo’nalishda bo’lishi kerak.

---

12 
Belgilanishi va formulalari 
a b c
 
; 
a b
c






;
sin
S
a b
a b

  
. 
1-rasm. 
 
6-misol.
a
va 
b
vektorlar yordamida yasalgan parallelogramm yuzini 
hisoblang. 
 
4
,
2
3 ,
3,
1,
,
6
a
p q b
p
q
p
q
p q










. 
 
Yechish. 
 
2-rasm. 
1
6
2
(4
) (2
3 ) 4 2(
) 4 3(
) 2(
) 3(
)
12(
) 2(
)
14(
) 14
sin
14 3 1
21
S
a b
p q
p
q
p p
p q
q p
q q
p q
p q
p q
p q



  


 
 
 


 
 

 




Bu yerda vektor k
o’paytmasining 
0
a a
 
va 
a b
b a
   
hossalaridan 
foydalanildi. 
 
Javob:
21 
kvadrat birlik 

---

13 
7-
§. Vektorlarning komplanarligi
 
 
7-misol.

 
 

2, 1,3 , 1,4,2 , 3,1, 1
a
b
c


- vektorlarning komplanarligini 
tekshiring.
 
Yechish.
3-
§ da berilgan vektorlarning komplanarli shartidan foydalanamiz
2
1 3
1
4
2
8 6 3 36 2 1
50 0
3
1
1

    
    
; 
Demak, berilgan uch vektor komplanar emas. 
8-
§. Vektorlar yordamida hajmni hisoblash
 
 
Ta’rif. 
a
 
va 
b
vektorlarning vektor k
o’paytmasiga, uchinchi 
c

vektor 
skalyar k
o’paytirilsa, hosil bo’lgan songa uch 
vektorning aralash k
o’paytmasi 
deyiladi. 
Uch vektor aralash k
o’paytmasi
ning absolyut qiymati, shu uch vektordan 
tuzilgan parallelepiped hajmiga teng. Piramida hajmi esa parallelepiped hajmining 
1/6 qismiga teng, ya’ni:
.
pir
V
a b c

Berilgan uchta 

 
 

1
1
1
1
2
2
2
2
3
3
3
3
, ,
,
, ,
,
, ,
A x y z
A x y z
A x y z
nuqtalardan 
o’tuvchi tekislik tenglamasi
1
1
1
2
1
2
1
2
1
3
1
3
1
3
1
0
x x
y y
z z
x
x
y
y
z
z
x
x
y
y
z
z










formula bilan ifodalanadi. 
Berilgan 


0
0
0
, ,
M x y z
nuqtadan 
0
Ax By Cz D


 
tekislikkacha 
bo’lgan masofa 
0
0
0
2
2
2
Ax
By
Cz
D
d
A
B
C







---

14 
formula orqali topiladi. 
 
8-misol.
Uchlari 
1
2
3
4
, , ,
A A A A
nuqtalarda bo’lgan piramida hajmi topilsin. 
Uning 
4
A
tomonidan tushirilgan balandlik 
H
hisoblansin. 

 
 
 

1
2
3
4
4; 2;0 ,
2;3;3 ,
2;0;3 ,
6;2;6
A
A
A
A

. 
3-rasm. 
 
Yechish.
Piramida yasovchi vektorlarni quyidagicha topaymiz 
1 2
1 3
1 4
2
5
3
2
2
3
2
4
6
a
A A
i
j
k
b A A
i
j
k
c A A
i
j
k

  


  


 

bu vektorlardan tuzilgan piramida hajmi 


2 5 3
1 5 1
1
2 3
2 2 3
1 2 1
6
6
2
4 6
1
4 2
4 5 4 2 10 4
9
.
V
hajm birlik


  
 


     


4
A
uchidan tushirilgan balandlik 
H
, 
4
A
nuqtadan
1
2
3
, ,
A A A
nuqtalardan 
o’tuvchi tekislikkacha bo’lgan masofa 
d
ga tengdir. 
Tekislik tenglamasi 

---

15 
4
2
2
5
3
15
60 6
12 4
10
6
12 6
24
2
2
3
9
6
36 0. yoki 3
2
12 0.
x
y
z
x
y
z
z
y
x
x
z
x
z






















9 
V
hajm birlik

2
2
3 6 2 6 12
18
.
13
3
2
H
d
uzunlik birligi


 


 
Javob:
18
13
H

uzulik birligi
. 
9-
§. To’g’ri
 chiziqqa oid masalalar 
Bu paragrafda q
o’yilgan masalani yechishimiz uchun quyidagi nazariy 
ma’lumotlar kerak bo’ladi: tekislikda 

 
 

1
1
2
2
3
3
,
,
,
,
,
A x y
B x y
C x y
nuqtalar 
berilgan va ulardan uchburchak tuzilgan bo’lsin:
a) 
AC
tomonning uzunligi 
–
berilgan 
ikki nuqta orasidagi masofa

 

2
2
3
1
3
1
AC
x
x
y
y




; 
b) 
AC
tomonning tenglamasi 
–
berilgan 
ikki nuqtadan 
o’tuvchi tekislik 
tenglamasi
 
 
1
1
3
1
3
1
y
y
x
x
y
y
x
x





; 
c) 
B
uchidan tushirilgan balandlik uzunligi 
H
, 
B
nuqtadan 
0
Ax By C

 
t
o’g’ri chiziqqacha bo’lgan masofa
d
formulasidan 
2
2
2
2
Ax
By
C
H
d
A
B


 

, 
balandlik tenglamasi
esa 
B
nuqtadan 
o’tib, 
AB
ga perpendikulyar 
bo’lgan 
t
o’g’ri 
chiziq tenglamasidan 


2
2
1
AC
y y
x x
k

 

; 
d) 
uchburchak yuzi 
1
1
2
2
3
3
1
1
1
2
1
x
y
S
x
y
x
y
 
formuladan topiladi. 

---

16 
 
9-misol.
Uchlari 

  
3; 3 ,
1;5
A
B
 
va 
 
9;1
C
nuqtalarda bo’lgan 
uchburchak berilgan: 
a) 
AC
tomonning uzunligi; 
b) 
AC
tomonning tenglamasi; 
c) 
B
uchidan tushirilgan balandlik uzunligi 
H
va tenglamasi; 
d) uchburchak yuzini toping. 
Yechish. 
4-rasm. 
a)




2
2
9
3
1 3
144 16
4 10
AC







uzunlik birligi
b)
AC
tomon tenglamasi: 
3
3
1
1
;
2
1 3
9 3
3
3
AB
y
x
y
x
k














yoki 
3
6 0.
x
y

 
c)
B
uchidan tushirilgan 
H
BD

balandlik uzunligi 
2
2
1 3 5 6
20
2 10,
10
1
3
H
d


 



uzunlik birligi
va tenglamasi: 


5
3
1 ,
3
8.
y
x
y
x
  

  
d)
uchburchak yuzi 


3
3 1
1
1
1
5 1
71
35,5
2
2
9
1 1
S
yuza birligi


 
 



---

17