O‘zbekiston respublikasi oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi samarqand davlat universiteti abdirashidov A., Babayarov A. I

Yechish
Berilganlarga ko‘ra 
 
 
3.11-rasm. Gradiyent usuli algoritmining
blok-sxemasi. 
2
2
2
2
0,1
3
0, 2
2
0,3
x
x
yz
f
y
y
xz
z
z
xy




















,
1 2
2
2
3
1 2
3
2
2
1 2
x
z
y
W
z
y
x
y
x
z














,
 
0
0
0
0
x
 
  
 
 
. 
(3.41) va (3.42) formulalar bo‘yicha quyidagi birinchi yaqinlashishni olamiz: 
 
 


 
 


0
0
0
0
0
,
1
,
f
f
f
f



,
 
 
 
1
0
0
0,1
1
0, 2
0,3
x
x
Ef



 
 






. 
Xuddi shunday 
 
2
x
- ikkinchi yaqinlashishni aniqlaymiz. Bu yerdan: 
 
1
0,13
0,05
0,05
f


 





,
1
1, 2
0,6 0, 4
0,9
1, 4
0,3
0, 4
0, 2
1,6
W



 






,
 
1
1
0,181
0,002
0,147
W f



 





. 
 
1
1 1
0,181
0,002
0,147
W W f



 





,
2
2
2
0,13 0, 2748
0,05 0, 2098
0,05 0,1632
0,3719
0, 2748
0, 2098
0,1632










. 
 
2
0,1
0,181
0,0327
0, 2
0,37119
0,002
0, 2007
0,3
0,147
0, 2453
x



 

 


 



 




 




 

. 
Natijaning qanchalik to‘g‘ri va aniq ekanligini tekshirish uchun tafovut hisoblanadi. 

---

136 
Namunaviy misollar va ularning yechimlari 
 
Nochiziqli tenglamalar sistemasini Maple dasturi yordamida taqribiy yechish. 
 
1-misol. 
Quyidagi nochiziqli tenglamalar sistemaning yechimini 

= 0,001 
aniqlik bilan Nyuton usulida taqribiy hisoblang: 
 
 











.
0
4
,
;
0
1
2
,
3
2
2
3
1
y
xy
y
x
f
y
x
y
x
f
Yechish.
Ushbu misolda berilgan tenglamalar sistemasi bitta musbat haqiqiy 
yechimga ega ekanligini quyidagi Maple dasturi 
plots
paketining 
implication
funk- 
siyasidan foydalanib 
0
)
,
(
1

y
x
f
va 
0
)
,
(
2

y
x
f
funksiyalarning chizil-
gan grafiklaridan ko‘rish mumkin 
(3.12-rasm): 
> plots[implicitplot]({2*x^3-y^2-
1=0,x*y^3-y-4=0},x=-2..2,y=-3..3);
 
Bu 
usulga 
ko‘ra 
dastlabki 
yaqinlashish 
7
,
1
;
2
,
1
0
0


y
x
kabi 
bo‘lsin. U holda 


1
3
2
6
,
2
0
0
3
0
0
2
0
0
0




y
x
y
y
x
y
x
yoki


910
,
97
40
,
9
91
,
4
40
,
3
64
,
8
7
,
1
;
2
,
1




. 
(12) formulaga ko‘ra 
3.12-rasm. 1-misolda berilgan nochiziqli 
tenglamalar sistemasi ildizining boshlang‘ich 
yaqinlashishni grafik usul bilan Maple dasturi 
yordamida aniqlash. 




















.
6610
,
1
0390
,
0
7
,
1
1956
,
0
91
,
4
434
,
0
64
,
8
91
,
97
1
7
,
1
;
2349
,
1
0349
,
0
2
,
1
40
,
9
1956
,
0
40
,
3
434
,
0
91
,
97
1
2
,
1
1
1
y
x
Hisoblashlarni shu singari davom ettirib, 
6615
,
1
2343
,
1
2
2


y
x
ni topamiz va 
hisoblashlarni talab qilingan aniqlikkacha davom ettiramiz. 
Berilgan tenglamalar sistemasining mavjud bitta haqiqiy yechimini Maple 
dasturi yordamida ham analitik usulda aniqlaylik: 
>
 
solve({2*x^3-y^2-1=0,x*y^3-y-4=0},{x,y}); allvalues(%); evalf(%); 
{
}
,

x
1.234274484

y
1.661526467
Natijalardan ko‘rinadiki, topilgan 
6615
,
1
2343
,
1
2
2


y
x
- taqribiy yechimni 
yetarlicha 

aniqlikda topilgan deb hisoblash mumkin. 

---

137 
Endu bu masalani Maple tizimida sonli yechishni qaraymiz. Avvalo Yakob 
matritsasini 
linalg
paketining 
jacobian
funksiyasi yordamida hisoblaymiz, keyin esa 
uning teskarisini 
linalg
paketining 
inverse
funksiyasidan foydalanib hisoblaymiz. 
eval
funksiyasi ifodaning son qiymatini beradi.
evalm
funksiyasi esa matritsa va 
vektorlar ustida amal bajarib, son natija beradi. Boshlang‘ich vektorni 
xx
va 
eps
aniqlik darajasi deb, Nyuton usuli bo‘yicha taqribiy hisoblashlarni bajaramiz: 
> with(linalg): 
F:=(x,y)->[2*x^3-y^2-1,x*y^3-y-4];
FP:=jacobian(F(x,y),[x,y]); FPINV:=inverse(FP);
xx:=[1.2,1.7]; eps:=0.0001; Err:=1000; v:=xx; v1:=[1e10,1e10];
j:=0:
for i while Err>eps do 
v1:=eval(v);
M:=eval(eval(FPINV),[x=v[1],y=v[2]]):
v:=evalm(v-M&*F(v[1],v[2]));
Err:=max(abs(v1[1]-v[1]),abs(v1[2]-v[2])); 
j:=j+1;
end do; 
Hisob natijasi quyidagicha: 
:= 
F

(
)
,
x y
[
]
,
 
2
x
3
y
2
1
 
x y
3
y
4
:= 
FP






6
x
2

2
y
y
3

3
x y
2
1
:= 
FPINV













3
x y
2
1
2 (
)


9
x
3
y
2
3
x
2
y
4
y


9
x
3
y
2
3
x
2
y
4

y
3
2 (
)


9
x
3
y
2
3
x
2
y
4
3
x
2


9
x
3
y
2
3
x
2
y
4
:= 
xx
[
]
,
1.2 1.7
:= 
eps
0.0001
:= 
Err
1000
:= 
v
[
]
,
1.2 1.7
:= 
v1
[
]
,
0.1 10
11
0.1 10
11
:= 
v1
[
]
,
1.2 1.7
:= 
M






0.09600350200
0.03470990077
-0.05015580660 0.08820398313
:= 
v
[
]
,
1.234876263 1.660979681
:= 
Err
0.039020319
:= 
j
1
:= 
v1
[
]
,
1.234876263 1.660979681
:= 
M






0.09258867450
0.03335772210
-0.04601453420 0.09187560387
:= 
v
[
]
,
1.234274675 1.661526276
:= 
Err
0.000601588
:= 
j
2
:= 
v1
[
]
,
1.234274675 1.661526276
:= 
M






0.09264916080
0.03338417877
-0.04608134315 0.09182868696
:= 
v
[
]
,
1.234274484 1.661526467
:= 
Err
0.191 10
-6
:= 
j
3
Natija shuni ko‘rsatadiki, hisob jarayonining 3-qadamida berilgan aniqlikdagi 
yechimga erishildi. 
2-misol.
Quyidagi nochiziqli tenglamalar sistemasining musbat yechimini 

= 
0,001 aniqlik bilan Nyuton usulida taqribiy hisoblang: 
 
 













.
0
7
,
0
1
,
0
2
,
0
,
;
0
3
,
0
2
,
0
1
,
0
,
2
2
2
2
1
xy
y
x
y
x
f
y
x
x
y
x
f

---

138 
Yechish. 
Boshlang‘ich yaqinlashishni tanlab olish uchun grafik usuldan, Maple 
dasturi 
plots
paketining 
implication
funksiyasidan foydalanib, (
x
,
y
) tekislikning biz-
ni qiziqtiradigan sohasida 
0
)
,
(
1

y
x
f
va 
0
)
,
(
2

y
x
f
egri chiziqlarning grafikla-
rini chizamiz (3.13-rasm):
> 
 
plots[implicitplot]({0.1*x^2+x+0.2*y^2-0.3=0,0.2*x^2+y-0.1*x*y-0.7=0},x=-
2..2,y=-2..2); 
Bundan berilgan tenglamalar sistemasi-
ning biz izlayotgan musbat yechimi 0<
x
<0,5; 
0<
y
<1,0 kvadrat ichida ekanligini ko‘ramiz. 
Boshlang‘ich yaqinlashishni 
;
25
,
0
0

x
75
,
0
0

y
deb qabul qilamiz. U holda qara-
layotgan misol uchun quyidagilarni yozamiz: 

















,
0
7
,
0
1
,
0
2
,
0
,
;
0
3
,
0
2
,
0
1
,
0
,
0
0
0
2
0
0
0
2
2
0
0
2
0
0
0
1
y
x
y
x
y
x
f
y
x
x
y
x
f
1
2
,
0
)
,
(
0
0
0
1




x
x
y
x
f
;
0
0
1
4
,
0
)
,
(
y
y
y
x
f



; 
3.13-rasm. 2-misolda berilgan 
tenglamalar sistemasi ildizining 
boshlang‘ich yaqinlashishini grafik 
usul bilan aniqlash. 
0
0
0
0
2
1
,
0
4
,
0
)
,
(
y
x
x
y
x
f




;
0
0
0
2
1
,
0
1
)
,
(
x
y
y
x
f




. 
Tanlangan 
)
,
(
0
0
0
y
x
X

larni (3.12) ning o‘ng tarafiga qo‘yib, dastlab taqribiy 
)
,
(
1
1
1
y
x
X

ni topamiz: 












,
70654
,
0
97969
,
0
04258
,
0
75
,
0
;
19498
,
0
97969
,
0
05391
,
0
25
,
0
1
1
y
x
o‘z navbatida esa 
)
,
(
2
2
2
y
x
X

= (0,19646, 0,70615) ni va 
)
,
(
3
3
3
y
x
X

= 
(0,19641, 0,70615) ni topamiz va hokazo. Iteratsiya jarayonini (3.13) shart bajaril-
gunga qadar davom ettiramiz. Bu hisoblashlar berilgan sistemaning yechimi (
x
,
y
) = 
(0,1964; 0,7062) ekanligini ko‘rsatadi. 
Bu topilgan yechimning qanchalik to‘g‘riligini Maple dasturi yordamida 
aniqlashtiramiz: 
> solve({0.1*x^2+x+0.2*y^2-0.3=0,0.2*x^2+y-0.1*x*y-0.7=0},{x,y}); 
{
}
,

x
.1964115055

y
.7061541848
.
Endi Nyuton usuli bilan misolning taqribiy yechimini topamiz: 
> with(linalg): 
F:=(x,y)->[0.1*x^2+x+0.2*y^2-0.3,0.2*x^2+y-0.1*x*y-0.7];
FP:=jacobian(F(x,y),[x,y]); FPINV:=inverse(FP);

---

139 
xx:=[0.25,0.75]; eps:=0.0001; Err:=1000; v:=xx; v1:=[1e10,1e10]; j:=0:
for i while Err>eps do 
v1:=eval(v); M:=eval(eval(FPINV),[x=v[1],y=v[2]]):
v:=evalm(v-M&*F(v[1],v[2])); Err:=max(abs(v1[1]-v[1]),abs(v1[2]-v[2])); j:=j+1; 
end do;
 
:= 
F

(
)
,
x y
[
]
,
 

0.1
x
2
x
0.2
y
2
0.3
 

0.2
x
2
y
0.1
x y
0.7
:= 
FP







0.2
x
1
0.4
y

0.4
x
0.1
y

1
0.1
x
:= 
xx
[
]
,
0.25 0.75
:= 
eps
0.0001
:= 
Err
1000
:= 
v
[
]
,
0.25 0.75
:= 
v1
[
]
,
0.1 10
11
0.1 10
11
:= 
v1
[
]
,
0.25 0.75
:= 
M






0.9594095941
-0.2952029520
-0.02460024600
1.033210332
:= 
v
[
]
,
0.1969557196 0.7064883149
:= 
Err
0.0530442804
:= 
j
1
:= 
v1
[
]
,
0.1969557196 0.7064883149
:= 
M






0.9642769266
-0.2779750296
-0.008000478288
1.022397604
:= 
v
[
]
,
0.1964115443 0.7061542263
:= 
Err
0.0005441753
:= 
j
2
:= 
v1
[
]
,
0.1964115443 0.7061542263
:= 
M






0.9643276107
-0.2778427597
-0.007819206552
1.022287533
:= 
v
[
]
,
0.1964115055 0.7061541848
:= 
Err
0.415 10
-7
:= 
j
3
3-Misol.
Faraz qilaylik, ushbu
 
 












0
5
,
;
0
1
,
3
2
2
2
3
1
y
y
x
y
x
f
y
xy
y
x
f
nochiqli tenglamalar sistemasining aniq yechimi 
(
x
,
y
)=(2;1) bo‘lib, uni dastlab analitik usulda Maple 
dasturi yordamida, keyin esa uning taqribiy 
yechimini Nyuton usulida topaylik. 
Yechish.
Dastlab berilgan nochiqli tenglama-
lar sistemasining yechimi mavjudligini Maple 
dasturi yordamida grafik usulda aniqlaylik (3.14-
rasm): 
> plots[implicitplot]({x*y-y^3-1=0,x^2*y^2+y^3-
5=0},x=-5..5,y=0..2); 
Berilgan nochiqli tenglamalar sistemasining 
aniq yechimi analitik usulda Maple dasturi 
yordamida quyidagicha topiladi: 
> solve({x*y-y^3-1=0,x^2*y^2+y^3-5=0},{x,y}); 
{
}
,

x
2

y
1
3.14-rasm. 3-misolda berilgan 
tenglamalar sistemasi ildizining 
boshlang‘ich yaqinlashishini 
grafik usul bilan aniqlash.