bu tür denklemler Yüksek Mertebeden Diferansiyel Denklemler olarak adlandırılacaklardır.
Örneğin, x dx +,y dy = 0 birinci mertebeden bir diferansiyel denklem, y” + 3y’ – 2y = x
ikinci mertebeden bir diferansiyel denklem olur. Denklemlerin bir başka sınıflandırılması da
katsayıların sabit ya da değişken oluşuna göre yapılır. Bir diferansiyel denklemin bazı
koşullara bağlı çözümü söz konusu ise bu tür problemlere Sınır Değer Problemi ya da
Başlangıç Değer Problemi denir.
01.04. Bir Diferansiyel Denklemin Oluşumu
Diferansiyel denklemlerin çok yaygın uygulama alanları vardır. Doğrudan matematiğin bir
konusu olmakla birlikte, uygulama alanlarında teknolojiden, ekonomiye; fizikten,
mühendisliğin çeşitli alanlarına kadar pek çok yerde onunla karşılaşmak olanaklıdır. Bu
konuda, çok ayrıntılı bilgiler içeren bir son bölüm yaptık. Orada bu denklemlerin nasıl
kurulduğunu ve çözümleriyle nasıl yorumlandığını görmek olanaklıdır. Biz şimdilik burada
sadece ilk bilgileri vermekle yetineceğiz. Bu konuda çok daha ayrıntılı bilgilere ulaşmak için
1.Cildin 3. sayfasında, alt bölüm 1.3. deki örnekleri incelemek faydalı olacaktır.
İlk ve en basit diferansiyel denklem y’ = y dir. y = y(x) dir. Bu bağıntı ile “türevi kendisine
eşit bir fonksiyon var mıdır ?“ sorusuna yanıt aranmaktadır. Bunun çözümü sonucunda e
x
fonksiyonuna ulaşılır. Burada e, matematik analizin temel sayısı olup değeri e =
2.7182818284590459… şeklinde uzayıp giden ve sonuncu ondalığı halen bilinmeyen bir
aşkın (transandant) sayı’dır.
Bir y = f(x) fonksiyonu türetilirse y’ = f ’(x) olur. f ‘(x), x in yeni bir fonksiyonu olup bunu
g(x) ile gösterelim: y’ = g(x) olur. İşte bu bir diferansiyel denklemdir. Bir örnek olarak
gösterelim:
y = f(x) = 2x
2
– 7x → y’ = g(x) = 4x - 7 → dy = (4x – 7) dx
y’ = g(x) yeniden türetilirse y” = g’(x) = h(x) olur. Bu ise ikinci metrebeden bir diferansiyel
denklem demektir.
3
Bir diferansiyel denklemin derecesi, denklemdeki en yüksek mertebeden türevin derecesidir.
01.05. Lipschitz Koşulu
Bir düzgün bölgede, apsisleri x, ordinatları y
1
ve y
2
olan iki keyfi nokta seçilmiş olsun. Aynı
D bölgesinde sürekli bir f(x,y) = 0 fonksiyonunun var olduğunu kabul edelim. Keyfi seçilen
her nokta çifti için
|f(x,y
2
) – f(x,y
1
)| < ℓ |y
2
– y
1
|
ilişkisi gerçekleşecek şekilde bir ℓ pozitif sayısı bulunabiliyorsa, f(x,y) fonksiyonu, D
bölgesinde y ye göre Lipschitz Koşulu’nu sağlamış olur.
0 < Ө < 1 olmak üzere, Ortalama Değer Teoremi
f(a+h , b+k) - f(a,b) = h.f
x
(a+ Өh , b+Өk) + k.f
y
(a+Өh , b+Өk)
(1.1)
şeklinde ifade edilir. Buradan (1.1) ifadesini elde etmek için uygun olan seçim :
a = x ; b = y
1
; h = 0 ; k = y
2
– y
1
dir. Bu kabullere göre
f(x,y
2
) – f(x,y
1
) = (y
2
– y
1
) f
y
(x, y
1
+ Ө (y
2
-y
1
))
(1.2)
olur. Bunun sol yanı (1.1) ile aynıdır. Demek ki Lipschitz Koşulu, Ortalama Değer
Teoremi’nin bir sonucudur. Bu iki bağıntı karşılaştırıldığında f(x,y) fonksiyonunun kısmi
türevleri de sürekli olduğundan aşağıdaki ifade yazılabilir.
f
y
(x , y
1
+ Ө (y
2
– y
1
)) < ℓ
olacağından ℓ sabiti f
y
nin üst sınırı olarak belirlenir. Bu ise |∂f / ∂y| ≤ ℓ demektir. Buna göre :
y
2
y
2
|f(x,y
2
) – f(x,y
1
)| = | ∫ [(∂f / ∂y) dy| ≤ ∫ |∂f / ∂y| dy ≤ ℓ |y
2
– y
1
|
y
1
y
1
olur.
01.06. Çözüm Kavramı
Bir diferansiyel denklemin çözümü denilince, onu özdeş olarak sağlayacak fonksiyonun
bulunması anlaşılacaktır. Bir diferansiyel denklemin çözümünü bulmak için, denklemin
türüne uygun çözüm yöntemleri uygulanır. Bunlar çok farklı olabilmektedir. Çözümün de
çeşitleri vardır. Aksi söylenmedikçe çözüm, Genel Çözüm olarak anlaşılacaktır. Özel Çözüm
başlangıç koşullarına bağlı çözüm olup, başlangıç koşulları denklemle birlikte verilmiş
olmalıdır. Ayrıca Tekil (Singüler) Çözüm ve Yalnız (İzole) Çözüm de diğer çözüm çeşitleridir.
Genel çözüme Genel İntegral de denilmektedir. Genel çözümün temel özelliği, çözüm olan
fonksiyonda denklemin mertebesine eşit sayıda keyfî sabitin bulunması zorunluluğudur. En
basit anlatımla f(x,y,y’) = 0 diferansiyel denkleminin genel çözümü, F(x,y,C) = 0 şeklinde,
bir keyfi sabit içeren bir fonksiyon olacaktır. F(x,y,C) = 0 çözümü, diferansiyel denklemi
özdeş olarak sağlayacaktır. Bu konunun diğer ayrıntıları hakkında bilgi edinmek için 1. Cilt’te
20.sayfadan itibaren yapılan açıklamalar gözden geçirilmelidir. Ayrıca, “ n.mertebeden bir
diferansiyel denklemin genel çözümünde n tane keyfi sabit bulunur ! “ teoremini, adı geçen
kitabın 34.sayfasında bulmanız olanaklıdır.
4
01.07. Varlık Ve Teklik Teoremleri
Bir diferansiyel denklemin çözümünün varlığı ve tekliği, diferansiyel denklemler teorisinin en
önemli konularından ikisidir. Bu konuda yapılmış çeşitli ispatlar bulunmaktadır. Biz
kitabımıza Picard – Lindelöf tarafından yapılmış teoremi koyduk [Bkz : 1 Cilt , sayfa 29].
Burada bu teoremin ayrıntılarına girmeyeceğiz. Sadece teoremin ifadesini vermekle
yetineceğiz :
f(x,y) fonksiyonu, düzgün kapalı bir D bölgesinde sürekli ve tanımlı bir fonksiyon ise,y’ =
f(x,y) diferansiyel denkleminin y
0
= y(x
0
) koşulunu sağlayan bir ve yalnız bir çözümü vardır
ve bu çözüm tektir.
2. BÖLÜM
DİFERANSİYEL DENKLEM SİSTEMLERİ
02.01. Giriş
Bu bölümde Diferansiyel Denklem Sistemleri konu edilecektir. Sistem kavramı birden çok
bağıntıyı bir arada göz önüne almayı gerektirir. Bu da kendine özgü bir inceleme alanı yaratır.
Ayrıca çeşitli özellikler dikkate alınarak, genel bir tanımdan daha özel yapıdaki sistemlere
doğru analizler yapılabilmektedir. Buna göre çözüm çalışmaları da çeşitlenmiş olmaktadır.
Konu ile ilgili alanlarda bu tür denklemlere çokça rastlanabilmektedir. Bunlarla ilgili örnekler
verilecektir.
02.02.Tanım
Tek bir serbest değişkenin birden çok fonksiyonunu birlikte ele alalım. Bu değişken ve buna
bağlı değişken ve onun belirli bir mertebeye kadar türevleri arasında kurulmuş bu bağıntılar n
tane olsun. Bu bağıntılar topluluğunu Adi Diferansiyel Denklem Sistemi denir. Ancak
diferansiyel denklemlerde olduğu gibi, pratikte bu Diferansiyel Denklem Sistemi olarak anılır.
Denklem sistemindeki bağıntılar birlikte ele alınacağı için bu tür sistemlere Simultane
Diferansiyel Denklem Sistemi de denilmektedir. Sonuç olarak, Diferansiyel Denklem Sistemi
denilince bu kavramlar bir bütün halinde böyle anlaşılacaktır.
t serbest değişkeninin n tane farklı fonksiyonu x
1
= x
1
(t), x
2
= x
2
(t), …, x
n
= x
n
(t) dir. Serbest
değişken, bu fonksiyonlar ve bunların belirli bir mertebeye kadar türevlerini içeren n tane
bağıntı aşağıdaki gibi olsun :
𝑓 (t,𝑥 ,𝑥 ′,𝑥 ″,…, 𝑥 ,𝑥 ,𝑥 ″,…)=0
𝑓 (t,𝑥 ,𝑥 ′,𝑥 ″,…,𝑥 ,𝑥 ,𝑥 ″,…)= 0
……………………………………
(2.1)
……………………………………
𝑓 (t,𝑥 ,𝑥 ′,𝑥 ″,…,𝑥 ,𝑥 ,𝑥 ″,…)=0
Bu sistemde fonksiyonlar ve bütün türevleri 1.dereceden olduğu için ayrıca bu tür sistemlere
Lineer Diferansiyel Denklem Sistemi ya da sadece Lineer Sistem denir.
6
Burada dikkat edilmesi gereken diğer husus, bilinmeyen ve denklem sayısının (n tane) eşit
olmasıdır. Bunların farklı olması hallerinde oluşacak sistemler, bu çalışmada konu
edilmeyecektir. Ayrıca bu tür simultane sistemlerin bazı yapısal özelliklerine göre ortaya
çıkacak ayrıcalıklı durumları, örneğin lineer olup olmadığı, homojen olup olmadığı, sabit ya
da değişken katsayılı olup olmadığına bakılarak, kendi içinde bir sınıflandırma yapılmaktadır.
Bu sınıflandırma çözüm yöntemlerin çeşitlenmesine ve özel bazı yöntemlerin oluşmasına
neden olmaktadır. Bunları konu ilerledikçe göreceğiz. Ayrıca, matematik analizin diğer ve
farklı konularından yararlanarak ilginç çözüm yöntemleri geliştirilecektir. Örneğin bu tür
sistemlerin çözümünde Matris Analizini kullanmak ya da Laplace Dönüşümlerinden
yararlanmak, sanırım çalışmamıza ilginç bir boyut katacaktır. Bir matematikçi olarak, bu gibi
konuları geliştirirken, hayli bilgi birikimine gereksinim olduğu anlaşılmaktadır. Matematikçi
için bu gibi çalışmalar bir amaç iken, uygulayıcılar için bu bilgileri kullanmak, bir araç
olmaktadır.
Örnek.
1
Aynı mamulün satışını yapan A ve B firmaları, toplam satışları
ve
oranlarında
paylaşmaktadırlar. Yani A nın piyasadaki hissesinin oranı iken B ninki olmak üzere,
dir. Her iki firma da piyasadaki hissesini reklam yoluyla arttırmaya çalışmaktadır. A
ve B nin yıllık reklam harcamaları sırasıyla s
1
ve s
2
liradır. A firmasının piyasa hisse-sinin
değişme hızının (
) izafi reklam harcaması ile B nin piyasa hissesinin çarpımından B nin
izafi reklam harcaması ile kendi piyasa hissesi çarpımının farkı ile orantılı değiştiği kabul
edilmektedir.
Bu açıklamalara ve kabule göre, k
1
ve k
2
sabit katsayılar olmak üzere, A ve B firmaları için
aşağıdaki ilişkiler oluşturulabilecektir:
1
1
2
2
1
2
1
2
k s
k
s
dx
y
x
dt
s
s
s
s
2
2
1
1
1
2
1
2
k s
k s
dy
x
y
dt
s
s
s
s
Bu bağıntılar, görülen ortak gösterimler yardımıyla, aşağıda görülen bir diferansiyel denklem
sistemi şeklinde ifade edilmiş olacaktır.
1
1
1
2
2
2
2
2
,
dx
y
x
k s
dt
dy
k
s
x
y
dt
k s
s
s
1
Bülent KOBU, İşletme Matematiği, Cilt 2, İÜ Yayınları No.1699, 3.Baskı, 1981, s.164
x
y
x
y
1
x y
dx
dt
7
Örnek.
2
Şekil 2.1. de görülen elektrik devresinde A anahtarı uzun süre açık bırakıldıktan sonra t=0
anında kapatılmaktadır. Endüktanslarda herhangi bir enerjinin depo edilmediğini, yani i
1
(0)=0
ve i
2
(0)=0 kabul ederek, anahtar kapatıldıktan sonra endüktanslardan geçecek olan i
1
(t) ve
i
2
(t) akımlarının, zamanın fonksiyonu olarak değişim ifadelerini bulunuz.
Şekil 2.1.
Elektrik devresi
Kirchhoff kanunu sırası ile ABCD ve ABEF gözlerine uygulanırsa:
1
1
2
1
2
1
2
2
10 20
30
0.5
10 20
10
1
di
i i
i
dt
di
i i
i
dt
olup, yeniden düzenleyelim:
olur.
Burada verilmiş olan iki örnek, değişik uygulama alanlarında nasıl kullanıldığını göstermek
içindi. Burada sadece denklemlerin kuruluşu ile ilgili bir çalışma yapılmış olup, bunların nasıl
çözüleceğine dair uygulamalar son bölümde yer alacaktır.
02.03. Çözüm Kavramı ve Çeşitleri
(2.1) sistemini sağlayan n tane fonksiyon
𝑥 =
1
t
, 𝑥 =
2
t
, … ,𝑥 =
n
t
olsun. Bu fonksiyonlar, (2.1) sistemindeki her bağıntıyı özdeş olarak sağlayacaktır. Bunlar
topluca, sistemin bir çözüm takımı olurlar. Çözüm olan bu fonksiyonlar ayrıca lineer bağımsız
olmalıdırlar.
2
Raşit MOCAN, Diferansiyel Denklemler ve Diferansiyel Denklem Sistemleri, Yıldız Üniversitesi Yayını
No.137 1977,s.236
1
1
2
2
1
2
0.5
50
20
10
20
30
10
di
i
i
dt
di
i
i
dt
8
Diferansiyel denklemlerin çözümünde, keyfi sabitlerin bulunması kuralı sistemler için de
geçerlidir. Keyfi sabitleri içeren bir çözüm Genel Çözüm olarak adlandırılır. Eğer sistemle
birlikte yeterince başlangıç koşulu verilmiş ise bunlar yardımıyla keyfi sabitler belirlenir. Bu
şekilde oluşacak çözüme ise Özel Çözüm denir.
Diferansiyel denklem sisteminin bir çözümü de, Tekil (Singüler) Çözüm’ dür. Genel
çözümden elde edilemeyen ve keyfi sabit bulundurmayan çözüm takımı, tekil çözüm olarak
adlandırılır.
02.04. Mertebe
Bir diferansiyel denklem sistemindeki her bilinmeyen fonksiyonun en yüksek türev
mertebelerinin toplamı, sistemin mertebesi olur. Örneğin,
2
2
2
2
2
2
2
dx
d y
x
y t
dt
dt
d x
dy
x y t
dt
dt
diferansiyel denklem sisteminde x(t) fonksiyonunun mertebesi 2 (ikinci denklemde) ve y(t)
fonksiyonunun metresi de 2 (birinci denklemde) olduğundan sistemin mertebesi 2 + 2 = 4
olur.
Genel olarak, (2.1) sistemini meydana getiren x
1
(t), x
2
(t), …, x
n
(t) bilinmeyen
fonksiyonlarının, sistem içinde hangi bağıntıda olursa olsun, en yüksek mertebeleri sırasıyla
m
1
, m
2
, … , m
n
ise (2.1) sisteminin metre-besi m
1
+ m
2
+ … + m
n
toplamı olacaktır.
02.05. Türeterek Yok Etme Yöntemi
Bu yöntemin esas amacı, sistemdeki bağıntıları türetmek suretiyle bağıntı sayısını artırarak,
bunlar arasında uygun seçilmiş denklemlerle yapılacak işlemler yardımıyla bilinmeyen
fonksiyonlardan birini yok etmektir. Bu şekilde tek bir bilinmeyen fonksiyona bağlı bir
bağıntı elde edilir ki artık bu bir diferansiyel denklemdir. Bu denklem çözülürse
(çözülebilirse) bu yolla bilinmeyenlerden biri belirlenmiş olur.
Diğer bilinmeyenin belirlenmesi için iki seçenek vardır:
1) İlk uygulamada olduğu gibi hareket etmek;
2) Bulunan ilk sonucun uygun olduğu düşünülen denklemde yerine konularak, o bağıntıyı
yeni değişkene göre düzenlemek…
Ancak bu uygulamalarda, keyfi sabitlerle ilgili bazı özel işlemlere gereksinme vardır. Farklı
uygulamalar görülür. Burada anlatılmak istenilen çözüm kavramını aşağıda verilen sistem ile
açıklayalım:
9
, , ,
,
0
2.2
, , ,
,
0
dx dy
F t x y
dt dt
dx dy
G t x y
dt dt
diferansiyel denklem sisteminde iki bağıntı bulunmaktadır. Bunları türetelim:
2
2
2
2
2
2
2
2
0
2.3
0
F
F dx
F dy
F d x
F d y
t
x dt
y dt
x dt
y
dt
G
G dx
G dy
G d x
G d y
t
x dt
y dt
x dt
y
dt
olur. (2.2) ve (2.3) denklemlerinden herhangi işlemlerle
, ', ''
y y y
çözülerek uygun görülen bir
bağıntıda yerlerine konursa, bu bağıntı düzenlendiğinde
( , , ', '') 0
H t x x x
(2.4)
elde edilir. Bu bağıntı x bilinmeyenine göre düzenlenmiş 2.mertebeden bir diferansiyel
denklemdir. Çözümü iki keyfi sabit içerecektir. Çözüm:
1
2
( , ,
)
x
f t C C
olur. Bundan sonra y bilinmeyeni belirleme için, yukarıda açıklanan yollardan biri seçilir.
Ancak seçilen yolda işlemler açısından zorlukla karşılılırsa, diğer yol kullanılmalıdır. x
belirlendiğine göre y için işlemlere yeniden başlanmalıdır. (2.2) ve (2.3) denklemlerinde bu
kere
, ', ''
x x x
bulunarak, uygun bir bağıntıda yerlerine yazılırsa
( , , ', '') 0
G t y y y
diferansiyel denklemi elde edilir. Bu denklem çözülür. Çözümünde iki keyfi sabit
bulunacaktır. Öyle çözüm
3
4
( ,
,
)
y F t C C
olur. Bunlar sistemin çözüm takımı olacaktır. Ancak sistemin mertebesi 2 olduğu için çözüm
takımında ancak iki keyfi sabit bulunmalıdır. Şimdi yapılması gereken keyfi sabitler
arasındaki ilişkileri düzene sokmaktır. Bu dört keyfi sabit birbirlerinden lineer bağımsız
olamazlar. Bu amaçla bulunan x ve y çözümleri seçilen bir bağıntıda yerlerine konarak,
gerekli düzenlemeler yapılırsa
C
3
= u (C
1
, C
2
) ; C
4
= v (C
1
, C
2
)
bulunur. Böylece y çözümü
y = F[t , u(C
1
, C
2
) , v(C
1
, C
2
)]
olup, C
1
ve C
2
keyfi sabitlerini içerecek şekilde bulunmuş olur. Sonuçta sistemin genel
çözümü:
x = f (t, C
1
, C
2
)
y = F[t, u(C
1
,C
2
) , v(C
1
,C
2
)]
10
olur. İleride bu tür sistemlerin çözümüne dair örnekler verilecektir
02.06. Kanonik Sistem
Aşağıdaki özelliklere sahip bir sisteme Kanonik Sistem denir.
1) Bilinmeyen fonksiyon sayısı ile denklem sayısı eşit olacak,
2) Sistemdeki her denklem, bilinmeyen fonksiyonlardan birinin en yüksek türev mertebesine
göre çözülmüş olacak.
Bu özellikte bir sistem örneğin
1
1
1
1
1
2
3
3
2
1
1
1
1
2
3
3
3
1
1
1
1
2
3
3
( , ,
,
, , ,
)
( , ,
,
, , ,
)
( , ,
,
, , ,
)
x
F t x x x x x x
x
F t x x x x x x
x
F t x x x x x x
görünüşündedir. Bu sistem öne sürülen iki koşula da uymaktadır. Aşağıdaki örnek konuya
açıklık getirmektedir:
2
x
x
y
y
y
x y
t
Dinamikte bir noktanın hareket denklemleri bir diferansiyel denklem sistemi oluşturur. Bu
denklem sistemi şudur:
2
1
2
2
2
2
2
3
2
, , , ,
,
,
, , , ,
,
,
, , , ,
,
,
d x
dx dy dz
m
F t x y z
dt
dt dt dt
d y
dx dy dz
m
F t x y z
dt
dt dt dt
d z
dx dy dz
m
F t x y z
dt
dt dt dt
Bu sistem, kanonik sistemin bütün özelliklerine sahiptir.
02.07. Normal Sistem
Aşağıda belirtilmiş özelliklere sahip bir sisteme Normal Sistem denir.
1) Bilinmeyen fonksiyon sayısı ile denklem sayısı eşit olacak,
2) Sistemde her bilinmeyen fonksiyonunun ancak ve ancak birinci metre- beden türevleri
bulunabilecek,
3) Sistemin her bir denklemi, bilinmeyen fonksiyonlardan birinin, birinci mertebeden türevine
göre çözülmüş olacak…
Aşağıdaki örnek bu koşullara uyan bir sistemi temsil etmektedir:
11
1
2
3
, , ,
, , ,
, , ,
dx
F t x y z
dt
dy
F t x y z
dt
dz
F t x y z
dt
Normal sistem, kanonik sistemin özel bir durumunu temsil etmektedir. Dikkat edilirse,
sistemdeki denklemlerden her biri bilinmeyen fonksiyonlardan birine göre çözülerek
Dostları ilə paylaş: |