1
( )
1
1
(
1) 0
3
1
2
olduğu hesaplanır. Buna göre karakteristik denklemin kökleri
1
2
3
1,
0,
1
olur.
Şimdi bu köklerin her biri için temel çözüm takımları tek tek belirlenmelidir.
1
1
için:
1
( )
( )
( 1) 0
olup, bu değer için karakteristik sistem
1
2
3
1
2
3
1
2
3
0
0
3
3
0
k
k
k
k
k
k
k
k
k
olup,
bunu sağlayan bir keyfi değer takımı
1
2
3
1,
0,
1
k
k
k
olarak bulu-nur. Bunlar için temel
çözüm takımı
1
1
1
( )
, ( ) 0 *
0, ( )
t
t
t
x t
e
y t
e
z t
e
şeklinde oluşur.
2
0
için:
2
( )
( )
(0) 0
olup, bu değer için karakteristik sistem
1
2
3
1
3
1
2
3
2
0
0
3
2
0
k
k
k
k
k
k
k
k
şeklinde oluşur. Bunlardan
1
2
3
k
k
k
ilişkisi bulunur. Keyfi olarak
1
1
k
alınırsa
2
3
1,
1
k
k
olur. Böylece
2
0
a karşın oluşan temel çözüm takımı
2
2
2
( ) 1, ( )
1, ( )
1
x t
y t
z t
şeklini alır.
3
1
için:
3
( )
( )
(1) 0
olup, bu değer için karakteristik sistem
1
2
3
1
2
3
1
2
3
3
0
0
3
0
k
k
k
k
k
k
k
k
k
34
şeklinde oluşur. Bunlar arasında oluşan
1
3
2
0,
k
k
k
şeklindeki ilişkiden, keyfi olarak
2
1
k
alınırsa
3
1
k
olacağından, üçüncü temel çözüm takımı da
3
3
3
( ) 0.
0,
( )
,
( )
t
t
t
x t
e
y t
e
z t
e
olarak bulunmuş olur.
Bu çalışmalardan sonra artık diferansiyel denklem sisteminin genel çözümünün yazılması
aşamasına gelinmiştir.
1
2
3
,
,
C C C herhangi üç keyfi sabiti gösterdiklerine göre genel çözüm :
1
2
1 1
2 2
3 3
1 1
2 2
3 3
2
3
1 1
2 2
3 3
1
2
3
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
t
t
t
t
x t
C e
C
x t
C x t
C x t
C x t
y t
C y t
C y t
C y t
y t
C
C e
x t
C z t
C z t
C z t
z t
C e
C
C e
olarak bulunur.
02.13.02.Karakteristik Denklemin Çakışık Kökleri Olması Hali:
(2.14) sistemini incelerken oluşan
( ) 0
karakteristik denkleminin
1
2
3
, ,
köklerinden
ikisi ya da üçü birden birbirine eşit olması durumunda, çözüm takımları belirlenirken
yapılacak seçim artık basit köklerde olduğu şekilde olamaz. Çünkü biliyoruz ki bu şekilde
oluşacak çözüm takımları birbirine lineer bağımlı olamazlar. Bu nedenle ve bu durumda
çözüm takımları oluşturulurken aşağıda açıklandığı şekilde hareket edilmelidir.
( ) 0
denkleminin kökleri, diyelim ki
1
2
3
,
şeklinde bulun-muştur. Burada da her
değeri için ayrı ayrı hesaplamalar yapılacaktır. Sadece farklı olan, eşit olan köklerden biri için
uygun bir düzenleme yapmaktan ibarettir. Bunu nasıl yapılacağını, adi diferansiyel denklem-
lere ait bilgilerimiz yardımıyla çözümleyeceğiz. Bu amaçla, Cilt
.
sayfa 199 daki açıklamalar
bir kez daha gözden geçirilmelidir.
1
ve
2
için, basit köklerde olduğu şekilde işlemler yürütülür. Farklı uygulama
2
ile
çakışık olan
3
yapılacaktır. Bunun için yapılacak düzenlemede, önerilen çözüm takımı
t
ile çarpılı olmalıdır. Böylece
0
w
olması koşulu en basit şekilde sağlanacaktır. Problemin
işlenişi önceki örneklerde görüldüğü şekilde gerçekleşecektir. Aşağıdaki örnek, konunun
pekiştirilmesine katkı sağlayacaktır.
Örnek.
3
dx
x y
dt
dy
x
y
dt
sistemini inceleyelim. Sistemin bir çözüm takımı
1
2
( )
, ( )
t
t
x t
k e
y t
k e
olsun.
35
1
2
,
t
t
dx
dy
k e
k e
dt
dt
olup bunlar birlikte denklem sistemini sağlamalıdır. Buna göre
1
1
2
1
2
1
2
2
1
2
(
1)
0
(
3)
0
3
t
t
t
t
t
t
k e
k e
k e
k
k
k
k
k e
k e
k e
olur. Böylece karakteristik sistem bulunmuştur.
1
2
0
k
k
için bu sistem kendiliğinden
sağlanır ki bu aşikar çözümdür. Bunun için çözüm takımından
( )
( ) 0
x t
y t
olur ki bu da
diferansiyel denklem sisteminin aşikâr çözümüdür.
Şimdi diğer çözümlerin araştırılmasına geçilebilir. Bunun için öncelikle karakteristik denklem
bulunmalıdır.
2
1
1
( )
(
1)(
3) 1
4
4 0
1
3
olup bu ise
2
1,2
(
2)
0
2
köklerini verir. Böylece çakışık köklerle karşılaşılmış
olur. Çözüm takımları her iki kök için ayrı ayrı hesaplanmalıdır. Ancak buradaki ikircikli
durum çakışık kökten kaynaklanır. Bunun için gerekli açıklama aşağıda yapılacaktır.
1
2
ilk kök için:
1
( )
( )
( 2) 0
olup buna karşı gelen çözüm takımı
2
2
1
1
1
2
( )
, ( )
t
t
x t
k e
y t
k e
olsun. Karakteristik sistem
1
2
1
2
0
k
k
k
k
verir. Keyfi olarak
1
1
k
seçilirse
2
1
k
olur. Böylece ilk çözüm takımı
2
2
1
1
( )
, ( )
t
t
x t
e
y t
e
olarak belirlenir.
2
2
çakışık kök için :
2
( )
( )
( 2) 0
olur. Bu kez çözüm takımı öncekinden
farklı olarak düzenlenmelidir. Biliyoruz ki çözüm takımını oluşturan fonksiyonlar için
0
w
olmalıdır. Bunun anlamı,
( ), ( )
x t y t
nin lineer bağımlı olamayacaklarıdır. Bu açıklamalar
dikkate alınarak, çakışık kök
2
için çözüm takımı bu kez
2
2
2
1
1
2
2
2
( ) (
)
,
( ) (
)
t
t
x t
k t l e
y t
k t l e
şeklinde düzenlenmelidir. Bunlar diferansiyel denklem
sistemini sağlamalıdır.
2
2
2
1
1
1
2
2
2
2(
),
(
)
t
t
t
dx
dy
k e
k t l
k e
k t l e
dt
dt
olup, terimler
2t
e
ile sadeleştirilir ve gerekli düzenleme yapılırsa
1
2
1
2
1
1
2
1
2
2
(
)
0
(
)
0
k
k t l
l
k
k
k t l
l
k
sistemine ulaşılır. Buradan
1
2
1
2
1
1
2
2
2
1
0
1
1
(
),
(
)
2
2
k
k
k
k
l
k
k l
k
k
36
ilişkileri bulunur.
1
2
k
k
için
1
1
2
,
0
l
k l
oldukları hesaplanır. Keyfi olarak
1
1
k
seçilirse
1
2
1
2
1,
1,
1,
0
k
k
l
l
bulunur. Artık bu ikinci köke karşı gelen çözüm takımının
2
2
2
2
( ) (
1)
,
( )
t
t
x t
t
e
y t
te
olduğu yazılabilecektir. Bu sonuçlardan yararlanarak diferansiyel denklem sisteminin genel
çözümünün ifade edilebilmesi artık olanaklıdır.
1
C ve
2
C keyfi sabitler olmak üzere
2
2
1
2
2
2
1
2
( )
(
1)
( )
t
t
t
t
x t
C e
C t
e
y t
C e
C te
bulunur.
02.13.03 Karakteristik Denklemin Karmaşık Kökleri Olması Hali:
(2.14) sistemini incelerken karşılaşılacak bir durum da
( ) 0
karakteristik denkleminin
kökleri arasında karmaşık (kompleks) sayılar bulunabilmesidir. Burada hemen
anımsatılmalıdır ki bu tür sayılar daima eşleniği ile birlikte var olurlar Örneğin
1 2i
kök ise,
mutlaka o problemde
1 2i
de köktür.
Bu dikkate alınarak, bu sistemin genel çözümünü yazabilmemiz için bulmamız gereken
çözüm takımları önceki çalışmalarımızdan farklı bir yapısal imajı gerektirmektedir.
1
2
3
( )
, ( )
, ( )
t
t
t
x t
k e
y t
k e
z t
k e
olarak önerilen çözüm takımı için belirleyici işlemler önceki çalışmalarımızda olduğu şekilde
yürütülür. Farklılık
( ) 0
karakteristik denkleminin köklerinin karmaşık sayılar içermesi
halinde ortaya çıkar. Seçilen modelde
( )
, 3.dereceden bir cebirsel denklem olacağı için,
bunun bir kökü reel, diğer iki kökü karmaşık sayılar olacaktır. Şunu da biliyoruz ki,
tekrarlarsak, karmaşık sayılar, mutlaka eşlenik kökleriyle birlikte bulunurlar Yani
2
1
i
olmak üzere,
+i kök ise
i
da diğer köktür. Bu ayrıntı, problem çözerken bize kolaylık
sağlayacaktır. Kökler
1
2,3
,
i
olsunlar.
1
1
1
1
11
1
21
1
31
(
)
(
)
(
)
2
12
2
22
2
32
(
)
(
)
(
)
3
13
3
23
3
33
( )
, ( )
, ( )
( )
, ( )
, ( )
( )
, ( )
, ( )
t
t
t
i
t
i
t
i
t
i
t
i
t
i
t
x t
k e
y t
k e
z t
k e
x t
k e
y t
k e
z t
k e
x t
k e
y t
k e
z t
k e
ile bunların türevleri birlikte (2.14) denklem sistemini sağlarlar.
Buradan her kök ya da her çözüm takımı için karakteristik sistem ayrı ayrı düzenlenerek
araştırmaya devam edilir. Örneğin
3
i
için
1
1
1 2
1 3
2 1
2
2
2 3
3 1
3 2
3
3
[
(
)]
0
[
(
)]
0
[
(
)]
0
a
i
k
b k
c k
a k
b
i
k
c k
a k
b k
c
i
k
37
karakteristik denklem sistemi oluşur. Bu denklemlerin ortak özelliği, hepsinin
1
2
3
0
k
k
k
için aşikâr olarak sağlanacak olmasıdır.
Buna karşın çözüm takımından
( )
( )
( ) 0
x t
y t
z t
olur ki bu da diferansiyel denklem
sisteminin aşikar çözümüdür.
Problemin çözümünün ayrıntılarının diğer açıklamaları aşağıda yer verilmiş olan örnek
üzerinde yapılacaktır.
Örnek.
1
2
1
2
dx
x y
dt
dy
x
y
dt
lineer-homojen diferansiyel denklem sistemi verilmiştir. İnceleyelim:
Temel çözüm takımı
1
2
( )
, ( )
t
t
x t
k e
y t
k e
olsun. Türevleriyle birlikte sistemde yerlerine konursa,
sadeleştirmeler sonunda
1
2
1
2
1
(
)
0
2
1
(
)
0
2
k
k
k
k
olur.
2
1
1
1
2
( )
(
)
1 0
1
2
1
2
dan
1,2
1
2
i
bulunur. Görüldüğü gibi kökler bir çift eşlenik karmaşık sayıdır.
1
1
2
i
için :
1
1
( )
( )
(
) 0
2
i
olup, bunun için sistemden hareket edilerek
2
1
k
ik
bulunur. Keyfi olarak
1
1
k
alınırsa
2
k
i
olur. Böylece
1
köküne karşı gelen çözüm takımı
1
1
(
)
(
)
2
2
1
1
( )
, ( )
i t
i t
x t
e
y t
ie
olur.
38
2
1
2
i
için :
2
1
( )
( )
(
)
0
2
i
olup, bunun için sistemden hareketle
2
1
k
ik
bulunur. Keyfi olarak
1
1
k
alınırsa
2
k
i
olur. Böylece
2
köküne karşı da çözüm takımı
1
1
(
)
(
)
2
2
2
2
( )
, ( )
i t
i t
x t
e
y t
ie
şeklinde oluşur. Artık genel çözümü yazmak olanaklıdır.
1
c ve
2
c herhangi iki keyfi sabit
olmak üzere
1
1
(
)
(
)
2
2
1 1
2 2
1
2
1
1
(
)
(
)
1 1
2 2
2
2
1
2
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
i t
i t
i t
i t
x t
c x t
c x t
x t
c e
c e
y t
c y t
c y t
y t
c ie
c ie
bulunur.
Uyarı 1.
Karmaşık sayılarla ilgili çalışmalarda genellikle trigonometrik ifadeler yeğlenmektedir. Bu
şekilde daha basit ifadeler elde edilebilmektedir. Bunu yapabilmek için, karmaşık sayılara
ilişkin
cos
sin
inx
e
nx i
nx
bağıntısından yararlanmak gerekecektir. Bunun yardımıyla,
keyfi sabitler de uygun düzenlenerek
i
sanal sayısından bağımsız bir sonuç ifade edile-
bilecektir. Bunu problemimizin sonucuna uygulayalım:
1
1
1
2
2
2
1
2
1
2
1
1
1
2
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
*
*
[
]
*
*
[
]
[ (cos
)
(cos
sin )]
[ (cos
)
(cos
sin )]
[(
)
t
t
t
it
it
it
it
t
t
t
it
it
it
it
t
t
t
x c e
e
c e
e
x e c e
c e
y c ie
e
c ie
e
y e c ie
c ie
x e c
t isint
c
t i
t
y e c i
t isint
c i
t i
t
x e
c
c
1
2
1
2
1
2
1
2
cos
(
) sin ]
[ (
) cos
(
) sin ]
t
t i c
c
t
y e i c
c
t
c
c
t
olur. Burada
1
K ve
2
K keyfi sabitleri,
1
2
1,
1
2
2
(
)
c
c
K c
c i
K
olarak seçilirse
diferansiyel denklem sisteminin genel çözümü
1
2
1
2
1
2
2
1
( )
[
cos
sin ]
( )
[
cos
sin ]
t
t
x t
e K
t K
t
y t
e K
t K
t
olarak, önceki sonuca göre çok daha sade bir şekilde düzenlenmiş olur. Çözümde
i
sanal
sayısının görülmediğine dikkat edilmelidir.
39
Uyarı 2.
Yukarıda, karmaşık köklerin eşlenik çiftler halinde bulunacağı anımsatılmıştır. Bu özellikten
yararlanarak, bu tür bir problem, çok daha kısa yoldan çözümlenebilir.
1
1
2
i
için çözüm takımı
1
1
(
)
(
)
2
2
( )
, ( )
i t
i t
x t
e
y t
ie
şeklinde oluştuğu görülmüştür.
1
1
2
i
ile
2
1
2
i
kökleri
karşılaştırılırsa farkın sadece
1
deki
i
yerine
2
de
i
olduğu görülür. Öyleyse yukarıdaki
çözüm takımında
i
yerine
i
konarak, ikinci çözüm takımı, hiçbir hesaba gerek kalmaksızın yazılabilecektir:
1
1
(
)
(
)
2
2
( )
, ( )
i t
i t
x t
e
y t
ie
Uyarı 3.
Lineer-homojen sistemlerin yukarıdan beri yapılan incelemesi oldukça güçlükler arz eder;
uzun hesapları gerektirir. Oysa bu denklem sistemlerinin operatörler yardımıyla çözümü bazı
kolaylıklar sağlamaktadır. Bu konu da kitabımızda yer alacaktır.
02.14. Alıştırma Problemleri ve Yanıtları
Aşağıdaki denklem sistemlerini türetme-yok etme yöntemini kullanarak çözünüz:
1)
'( )
'( )
x t
y t
y t
x t
Yanıt:
1
2
1
2
( )
1
( )
1
t
t
t
t
x t
Dostları ilə paylaş: |