verildiğinden, ikinci yanlarda türevli terim bulunmamaktadır.
Aşağıdaki denklem sistemi, görüntü olarak böyle bir sistemi temsil etmektedir.
2
2
t
t
dx
x
y e
dt
dy
x y e
dt
diferansiyel denklem sistemi, Normal Sisteme ait bir örnektir.
02.08. Teorem
Her kanonik sistem, bir normal sisteme dönüştürülebilir.
Daha önce tanım için kullandığımız diferansiyel denklem sistemini yeni-den ele alalım. Bu
sistemde bütün türevleri birinci mertebeye indirgeyecek şekilde yeni bilinmeyen fonksiyonlar
kullanarak sistemi yeniden düzenleyelim. Şunları varsayalım:
x
1
’ = x
4
; x
3
’ = x
5
; x
1
” = x
4
’ = x
6
; x
3
” = x
5
’ ; x
1
”’ = x
6
’ .
1
1
1
1
1
2
3
3
2
2
1
1
1
2
3
3
3
3
1
1
1
2
3
3
( , ,
,
, , ,
)
( , ,
,
, , ,
)
( , ,
,
, , ,
)
x
F t x x x x x x
x
F t x x x x x x
x
F t x x x x x x
Bu sistem yukarıda öngörülen varsayım yardımıyla yeniden düzenlenirse,
6
1
1
4
6
2
3
5
2
2
1
4
6
2
3
5
5
3
1
4
6
2
3
5
1
4
3
5
4
6
( , , , , , , )
( , , , , , , )
( , , , , , , )
x
F t x x x x x x
x
F t x x x x x x
x
F t x x x x x x
x
x
x
x
x
x
12
olur. Bu sistem bir normal sistemin bütün özelliklerini göstermektedir. Burada yeni
bilinmeyenler katılmış olması nedeniyle denklem sayısı artmıştır. Ancak her iki sistemin
mertebeleri eşittir. İlk sistemde mertebe 3 + 1 + 2 = 6 dır. Yeni sistemde ise hepsi birinci
mertebeden olan altı denklem vardır ki bu sistemin mertebe sayısı da 6 dır. Demek ki bir ka-
nonik sistem, bir normal sisteme, mertebeleri eşit olacak şekilde dönüştürülmektedir. Bu
yargıya göre, bir kanonik sistem bir normal sisteme dönüştürülmek istendiğinde, mertebe
sayısına bakarak, önceden kaç yeni değişken katılacağı kestirilmiş olur. Bu teoremin bir
sonucu olarak son elde edilen diferansiyel denklem sisteminin çözümünden kolayca görüle-
bileceği gibi, sistemin genel çözümünde bulunacak keyfi sabitlerin sayısı, sistemin
mertebesine eşit olacaktır. Dolayısıyla genel çözümde mertebe sayısına eşit keyfi sabit
bulunacaktır. Bu keyfi sabitler birbirinden bağımsızdırlar. Öyleyse varsayılan genel çözüm
1
1
1
2
3
4
5
6
2
2
1
2
3
4
5
6
3
3
1
2
3
4
5
6
4
4
1
2
3
4
5
6
5
5
1
2
3
4
5
6
6
6
1
2
3
4
5
6
( , , , , , , )
( , , , , , , )
( , , , , , , )
( , , , , , , )
( , , , , , , )
( , , , , , , )
x
f t c c c c c c
x
f t c c c c c c
x
f t c c c c c c
x
f t c c c c c c
x
f t c c c c c c
x
f t c c c c c c
şeklinde (yapısında) olacaktır. Bu çözüm takımı her iki sistemime de aittir.
Örnek .
,
sistemi bir normal sistem olup, çözüm için türetme-yok etme yöntemini uygulayalım. Her iki
bağıntı türetilirse :
=
− =
şeklinde sabit katsayılı bir diferansiyel denklem elde edilir.
Bu çözülürse genel çözüm =
+
olur. Bu sistemden seçilen bağıntılardan
birine götürülürse
=
=
=
+
elde edilir. Bu şekilde sistemin çözüm takımı bulunmuş olur ki bu çözüm aşağıdadır:
Bu sistemin bir özelliği daha var. Bunu tartışalım. Kolayca görülüyor ki sistem x = 0 ve y = 0
için de sağlanmaktadır. Öyleyse {x = 0; y = 0} da bu sistemin bir çözümüdür. Ancak bu
sonuç genel çözümden elde edilemez. Ayrıca hiçbir keyfi sabit içermemektedir. Çözüm
takımında ancak c
1
= 0 ve c
2
= 0 olması halinde yukarıdaki sonuç elde edilebilir ki bu da
dx
y
dt
dy
x
dt
2
2
dx
d x
y
dt
dt
dy
dt
x
2
2
d x
dt
x
0
x
1
c
t
e
2
t
c e
y
dx
dt
1
2
t
t
d
c e
c e
dt
1
t
c e
2
t
c e
1
2
1
2
t
t
t
t
x c e
c e
y
c e
c e
13
keyfi sabitlerin lineer bağımlı olması demektir. Oysa daha önceden gördüğümüz gibi bunlar
lineer bağımlı olamazlar. x = 0 ; y = 0 çözümü genel çözümden elde edilemez. Bu tür
çözümlere Aşikâr Çözüm ya da Trivial Çözüm de denilmektedir.
Örnek .
Diferansiyel denklem sistemi bir normal sistem olup, çözümünü araştıralım : türetme – yok
etme yöntemini uygulamak üzere her iki denklemi de türetelim :
=
=
olur. (2) bağıntısının her terimini 5 ile çarpar (1) bağıntısının terimleri ile toplarsak,
bulunur. Bu sonuç (4) de yerine konursa
elde edilir. Bu ise ikinci mertebeden sabit katsayılı, ikinci yanlı bir diferansiyel denklem olup
çözülürse,
bulunur. Şimdi de x(t) fonksiyonunu bulmak üzere (2) bağıntısını kulla-
nalım. Bunun için (2) bağıntısını
şeklinde düzenleyelim ve y(t) çözümünü buraya uygulayalım :
5
2
1
3
2
t
t
dx
x
y e
dt
dy
x
y e
dt
2
2
d x
dt
5
2
3
t
dx
dy
e
dt
dt
2
2
d y
dt
3
4
t
dx
dy
e
dt
dt
5
17
5
5
17
5
t
t
t
t
dx
dy
y
e
e
dt
dt
dx
dy
y
e
e
dt
dt
2
2
2
2
5
17
5
3
8
17
4
t
t
t
t
t
d y
dy
dy
y
e
e
e
dt
dt
dt
d y
dy
y e
e
dt
dt
4
1
2
1
2
sin
cos
26
5
t
t
t
y t
e
c
t c
t
e
e
3
t
dy
x
y e
dt
4
4
1
2
1
2
1
2
1
2
sin
cos
3
sin
cos
26
5
26
5
t
t
t
t
t
t
t
d
x t
e c
t c
t
e
e
e c
t c
t
e
e
e
dt
14
olup, bu ifade üzerinde gerekli hesaplamalar ve düzenlemeler yapılırsa,
bulunacaktır. Böylece araştırma konusu olan normal sistemin çözümü
şeklinde elde edilir. Bu bir genel çözümdür. Örnek seçilen sistemin mertebesi 2 dir. Dikkat
edilirse çözüm takımındaki keyfi sabitlerin sayısı da 2 dir.
Örnek .
diferansiyel denklem sistemini inceleyelim. Bu sistemin bazı özellikleri bulunmaktadır.
Örneğin (2) bağıntısı (1) bağıntısına uygulanırsa
olur. Bu ifade türetilirse :
;
olur. Bununla (2) bağıntısına gidilirse
diferansiyel denklemine varılır ki bu değişkenlerine ayrılabilen bir diferansiyel denklemdir ve
çözümü
dir. Bunu kullanarak (3) bağıntısından z(x) de bulunabilecektir
Artık sistemin çözüm takımı aşağıda görüldüğü şekilde ifade edilebilecektir:
4
2
1
2
1
2
1
sin
cos
13
5
t
t
t
x t
e
c
c
t
c
c
t
e
e
4
2
1
2
1
4
1
2
2
1
sin
cos
3
5
1
2
sin
cos
26
5
t
t
t
t
t
t
x t
e
c
c
t
c
c
t
e
e
y t
e
c
t c
t
e
e
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2
x
x
d y d z dy
y z e
dx
dx
dx
d y d z dy
e
dx
dx
dx
y+z
3
x
x
x
x
e
y z
e
e
e
x
x
dy
dz
e
e
dx
dx
2
2
2
2
x
x
d y
d z
e
e
dx
dx
2
x
x
x
x
x
dy
dy
e
e
e
e
e
dx
dx
1
2
x
x
y x
e
e
c
1
1
z
z
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y
z
e
e
y
e
e
e
e
c
e
e
e
e
c
2
2
x
x
x
x
y x
e
e
c
z x
e
e
c
15
Bu çözüm içinde ilginç bir sonuç vardır. Çözümde sadece 1 adet keyfi sabit görülmektedir.
Oysa sistemin mertebesi 4 olarak görülmektedir. Bu noktada dikkat edilmesi gereken şudur :
(2) bağıntısının birinci yanı ile (1) bağıntısının birinci yanındaki türev ifadeleri birbirinden
bağımsız
değillerdir. Bu özelliğiyle sistem, ayrıcalıklı bir durum göstermektedir. Bunun bir sonucu
olarak sistemin genel çözümünde, 4 değil sadece 1 keyfi sabit bulunmaktadır. Gerçekte
incelenmiş olan sistem
sistemiyle eş anlamlı olup, görüldüğü gibi bu sistemin mertebesi 1 dir. Örnek olarak
seçtiğimiz bu diferansiyel denklem sistemi, bir kanonik sistem olmadığı gibi, normal sistem
haline de getirilemez.
Örnek.
4
2
1
2
dy
y
z x
dx
dz
y z
dx
normal sistemini inceleyelim. Sistemin mertebesi 2 dir. Türetme-yok etme yöntemini
kullanalım. Bu amaçla sistemdeki her iki bağıntıyı da türetelim:
olup (2) den, y = z – z’ olup (4) de yerine konur ve düzenlenirse,
elde edilir. Bu sabit katsayılı , ikinci taraflı bir denklemdir. Denklem çözülürse:
olarak z bilinmeyeni belirlenmiş olur. y bilinmeyen fonksiyonunu bulmak için, yeniden yok
etme yöntemini uygulayalım :
2
x
x
x
x
y z e
e
dy
e
e
dx
2
2
2
2
4
2
1 3
4
d y
dy
dz
dx
dx
dx
d z
dy
dz
dx
dx
dx
4
2
5
5
5
6
z
y
z x y z
y z x
z
z z
z x
z
z
z
x
2
3
1
2
5
6 36
x
x
x
z c e
c e
16
şeklinde alıp (2) de yerine yazalım :
olur ki bu ilişkiyi (3) bağıntısına uygularsak,
olup, bu da düzenlenirse,
diferansiyel denklemi elde edilir. Bu da ikinci mertebeden, sabit katsayılı, ikinci yanlı bir
diferansiyel denklem olarak çözülürse
bulunur. Böylece y bilinmeyen fonksiyonu da belirlenmiş olur. Ancak bu çözüm de iki farklı
keyfi sabit içermektedir. Böylece x ve y çözümleri birlikte göz önüne alınınca c
1
,c
2
,c
3
,c
4
gibi
dört keyfi sabit bulunduğu görülmektedir. Oysa sistemin mertebesi 2 olduğuna göre, sistemin
çözüm takımında ancak 2 keyfi sabit bulunmalıdır. Demek ki yukarıda sıraladığımız keyfi
sabitler birbirinden bağımsız olamazlar. Şimdi bize düşen iş, bunlar arasındaki ilişkiyi
belirlemektir. Bu amaçla (2) bağıntısını kullanalım. Yukarıdaki çözümleri buraya
uygulayalım:
Benzer terimlerin katsayıları eşitlenirse:
bulunur. Böylece keyfi sabitler arasındaki ilişkilerin ne olduğu ortaya çıkmış olur. Bu
sonuçlar kullanılarak artık sistemin çözüm takım yazılabilecektir.
1
4
2
z
4
2
y
y
z x
y
y x
1
1
4
3
2
2
2
x
z
y
y x
y
y
y
4
2
1
y
4
6
1
y
y
z
y
y
y x
5
6
1
y
y
y
x
2
3
3
4
1
6 36
x
x
x
y c e
c e
2
3
2
3
2
3
1
2
3
4
1
2
2
3
2
3
1
2
1
3
2
4
1
1
5
2
3
6
6 36
6 36
2
3
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
z
y z
x
x
c e
c e
c e
c e
c e
c e
c e
c e
c
c e
c
c e
1
1
3
3
1
2
2
4
4
2
2
3
2
c
c
c
c
c
c
c
c
c
c
2
3
1
2
2
3
1
2
1
2
6 36
5
2
6 36
x
x
x
x
x
y
c e
c e
x
z c e
c e
17
Örnek .
diferansiyel denklem sistemi bir kanonik sistemin bütün özelliklerini göstermektedir. Bunu
normal sisteme dönüştürelim. Bu amaçla yeni bilinmeyen fonksiyonlar katmamız gerekiyor.
Burada u = u(x) olmak üzere, dy/dx = u diyelim. y” = u’ olur. Sistem bunlara göre
düzenlenirse,
olur ki bu bir normal sistemdir. Dikkat edilirse sistemdeki her bağıntı, bilinmeyen bir
fonksiyonun birinci türevine göre düzenlenmiştir. Kolayca görülüyor ki sistemin mertebesi 3
tür. Bununla ilgili teoremi bu vesileyle hatırlamış olalım. (3),(4),(5) bağıntılarını türetelim:
(4) bağıntısından
yazılarak, dz/ dx , dy/dx , ve z yi u fonksiyonu cinsinden ifade edelim :
olur. Bunlar yukarıdaki ilk bağıntı için düzenlenirse:
2
2
2 1
2
2
d y
dy
x
z
dx
dx
dz
dy
z
dx
dx
2 3
2
4
5
du
x u
z
dx
dz
u z
dx
dy
u
dx
2
2
2
2
2
2
1
2
6
2
7
8
d u
du
dz
dx
dx
dx
d z
du
dz
dx
dx
dx
d y
du
dx
dx
2
dz
dy
z
dz
dx
2
2
1
3 den z
2
1
6 dan
1
2
5 de
du
x u
dx
dz
d u
du
dx
dx
dx
dy
u
dx
18
olur ki bu çözülürse:
bulunur. Bu yardımcı fonksiyonu kullanarak esas bilinmeyen fonksiyonlarımız y ve z yi
belirlemeye çalışalım. Uygun bağıntılar seçelim. (5) den,
ve devam ederek
bulunur.
bağıntısını kullanarak,
olur. Böylece normal sistemin çözümü
olacaktır. u fonksiyonu yardımıyla bilinmeyen fonksiyonlarımız belirlenirse yani kanonik
sistemin çözüm takımı yazılmak istenirse
2
2
1
1
1
2
2
2
d u
du
du
x u
u
dx
dx
dx
2
2
2
3
1
d u
du
u
x
dx
dx
3
1
2
5
3 9
x
x
x
u c e
c e
y
dy
u
udx
dx
2
3
3
1
2
1
2
3
5
1
5
3 9
3
6
9
x
x
x
x
x
x
x
y
c e
c e
dx
c e
c e
c
1
z
2
du
x u
dx
3
3
1
2
1
2
3
3
1
2
1
2
1
1
5
3
2
3
3 9
1
4
8
2
4
2
2
2
3
9
3
9
x
x
x
x
x
x
x
x
x
z
c e
c e
x c e
c e
c e
c e
x
c e
c e
x
3
1
2
2
3
1
2
3
3
1
2
5
3 9
1
5
3
6
9
2
4
3
9
x
x
x
x
x
x
x
u c e
c e
x
x
y
c e
c e
c
x
z
c e
c e
19
bulunur. Dikkat edilirse çözümde 3 tane keyfi sabit bulunmaktadır.
02.09.Wronskien ve Çözümlerin Lineer Bağımlılığı
Bu konudaki tanımı örnek seçilmiş bir model üzerinde yapalım ve tartışalım. Bunun için,
Dostları ilə paylaş: |