y
x
x
1
4
6
(1.2) 0 1(0.2)
(0.04)
(0.008) 0.288
2
6
y
y
b)
2
1
0
0
( , )
y
y
hf x y
2
0.288
(1.4) 0.288 (0.2) 1.2 3
0.672
1.2
y
y
Örnek.
'
3
y
y
x
ve
(0) 1
y
başlangıç değer problemi verilsin.
0.2
h
için
[0,1]
aralığındaki
değerleri Euler yöntemi ile hesaplayınız.
125
'
( , ) 3
y
f x y
x y
(0.2)
(0) (0.2) (0,1) 1 (0.2)(3(0) 1) 0.8
f
y
f
(0.4)
(0.2) (0.2) (0.2,0.8) 0.8 (0.2)(3(0.2) 0.8) 0.76
f
y
f
(0.6)
(0.4) (0.2) (0.4,0.76) 0.76 (0.2)(3(0.4) 0.76) 0.848
f
y
f
(0.8)
(0.6) (0.2) (0.6,0.848) 0.848 (0.2)(3(0.6) 0.848) 1.0384
f
y
f
(1)
(0.8) (0.2) (0.8,1.384) 1.0384 (0.2)(3(0.8) 1.0384) 1.31072
f
y
f
07.07.02. Düzeltilmiş Euler ve Huen Yöntemi
Bu yöntemde sadece birinci adımda eğri üzerindeki bir noktadan başlanır. Daha sonraki
adımlarda hep eğrinin dışında olan noktalarda hareket söz konusu olduğundan başlangıç
noktasından uzaklaştıkça hataların büyüyeceği açıktır. Bu hataları bir miktar gidermek için
integral hesaptan faydalanarak değişik formüller kullanılır.
1)
1
i
i
i
y
y
hf
(Basit Euler Formülü)
2)
1
(
,
)
2
2
i
i
i
i
i
h
h
y
y
hf x
y
f
(Euler Orta Nokta Formülü)
3)
1
[
(
,
)]
2
i
i
i
i
i
i
h
y
y
f
f x
h y
hf
(Euler Yamuk Formülü-Huen Yöntemi)
Örnek.
2
'
1
y
y t
ve
(0) 0.5
y
başlangıç değer probleminin
0.2
t
deki çözümünü
a) Euler Orta Nokta formülü ile
b) Euler Yamuk formülü ile bulunuz.
a)
2
( , )
1
f t y
y t
,
0
0
t
,
0
0.5
y
,
0.2
h
1
0
0
0
0
(
,
)
2
2
h
h
y
y
hf t
y
f
0
(0,0.5) 0.5 0 1 1.5
f
f
1
0.2
0.2
0.5 (0.2) (0
, 0.5
1.5) 0.5 (0.2) (0.1, 0.65) 0.828
2
2
y
f
f
b)
1
0
0
0
0
0
[
(
,
)]
2
h
y
y
f
f t
h y
hf
1
0.2
0.5
[1.5
(0.2, 0.5 0.2(1.5))] 0.826
2
y
f
07.07.03. Runge-Kutta Yöntemleri
a) II. Mertebe Runge-Kutta :
Runge-Kutta yöntemleri yüksek mertebeden türevleri hesaplamaya katmadan, Taylor serisi
temelinde geliştirilen yöntemlerin, istenen eğim değerinin doğruluğunun belirlenmesi esasına
dayanır.
126
'
( , )
y
f x y
ve
( )
i
i
y x
y
verilmiş olsun.
1
i
i
h x
x
olmak üzere
1
i
x
noktasındaki
1
1
(
)
i
i
y x
y
çözümü,
1
( , )
i
i
k
hf x y
2
1
(
,
)
i
i
k
hf x
mh y
mk
olmak üzere
1
1
2
i
i
y
y
ak
bk
(1)
şeklinde bulunur. Burada a, b ve m sabittirlerdir.
( )
y x
fonksiyonunu 2.mertebeden türevli
terimlere kadar Taylor serisine açarsak
2
'( )
''( )
( )
( )
(
)
(
)
1!
2!
i
i
i
i
i
y x
y x
y x
y x
x x
x x
1
i
x x
alırsak ve ''( )
i
y x yerine
( , )
( , ) ( , )
x
i
i
y
i
i
i
i
f x y
f x y f x y
yazarsak,
2
1
1
1
( , )
( , ) ( , )
'( )
(
)
( )
(
)
(
)
1!
2!
x
i
i
y
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
f x y
f x y f x y
y x
y x
y x
x
x
x
x
2
1
1
1
( , )
( , ) ( , )
(
)
( )
'( )(
)
(
)
2!
x
i
i
y
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
f x y
f x y f x y
y x
y x
y x x
x
x
x
(2)
elde edilir.
1
1
(
,
)
( , )
i
i
f
f
f x
mh y
mk
f x y
mh
mk
x
y
olacağından
2
2
1
1
1
(
,
)
( , )
( , )
i
i
f
f
f
f
k
hf x mh y mk
h f x y
mh
mk
hf x y
mh
mhk
x
y
x
y
yazılır.
1
( , )
i
i
k
hf x y
ve
2
2
1
( , )
f
f
k
hf x y
mh
mhk
x
y
değerlerini (1) de yerine yazarsak ;
2
1
1
( , )
( , )
i
i
i
i
f
f
y
y
ahf x y
b hf x y
mh
mhk
x
y
1
1
(
) ( , )
i
i
i
i
f
f
y
y
a b hf x y
bmh h
k
x
y
(3)
(2) ile (3) ü birbirine eşitlersek ;
2
2
( , )
( , )
( , ) ( , )
2
(
) ( , )
( , )
( , ) ( , )
i
i
x
i
i
y
i
i
i
i
i
i
x
i
i
y
i
i
i
i
h
f x y h
f x y
f x y f x y
a b hf x y
bmh
f x y
f x y f x y
127
Buradan
1
a b
ve
1
2
bm
denklemleri çıkar. İki denklem ve üç bilinmeyen olduğundan
biri keyfi sabit olarak seçilir.
1
m
alınırsa
1
2
a
,
1
2
b
olur. Bu durumda,
1
2
1
( , )
(
,
)
i
i
i
i
k
hf x y
k
hf x
h y
k
1
1
2
1
(
)
2
i
i
y
y
k
k
olarak bulunur.
b) IV. Mertebe Runge-Kutta :
Taylor serisine 4.mertebeden türevleri de eklersek
1
( , )
i
i
k
hf x y
2
1
(
,
)
i
i
k
hf x
mh y
mk
3
2
(
,
)
i
i
k
hf x
nh y
nk
4
3
(
,
)
i
i
k
hf x
rh y
rk
olmak üzere
1
1
2
3
4
i
i
y
y
ak
bk
ck
dk
şeklinde bulunur.
, , , , ,
a b c d m n
ve
r
değerlerini hesaplamak istersek, yedi bilinmeyenli, yediden az denklem ile
lineer ya da lineer olmayan denklem sistemi ortaya çıkar. O halde
1
1
1
1
1
,
,
1,
,
,
2
2
6
3
3
m
n
r
a
b
c
ve
1
6
d
olarak seçersek ;
1
( , )
i
i
k
hf x y
2
1
1
1
(
,
)
2
2
i
i
k
hf x
h y
k
3
2
1
1
(
,
)
2
2
i
i
k
hf x
h y
k
4
3
(
,
)
i
i
k
hf x
h y
k
ve
1
1
2
3
4
1
2
2
6
i
i
y
y
k
k
k
k
olarak bulunur.
128
Örnek.
2
'
y
xy
ve
(2) 1
y
başlangıç değer problemi veriliyor.
0.1
h
için 2.mertebe Runge-Kutta
ile çözünüz.
1
0
0
( , ) (0.1) (2,1) (0.1)( 2(1))
0.2
k
hf x y
f
2
2
0
0
1
(
,
) (0.1) (2.1, 0.8) (0.1)( 2.1(0.8) )
0.1344
k
hf x
h y
k
f
1
0
1
2
1
1
(
) 1
( 0.2 0.1344) 0.8328
2
2
y
y
k
k
Örnek.
'
3
y
y
x
ve
(0) 1
y
başlangıç değer problemi verilsin.
0.2
x
deki çözümü 2. ve 4.
mertebeden Runge-Kutta ile çözünüz.
2.mertebe :
'
( , ) 3
y
f x y
x y
1
0
0
( , ) (0.2) (0,1)
0.2
k
hf x y
f
2
0
0
1
(
,
) (0.2) (0.2, 0.8)
0.04
k
hf x
h y
k
f
1
2
1
1
(0.2)
(0)
(
) 1
( 0.2 0.04) 0.88
2
2
y
y
k
k
4.mertebe :
1
0
0
( , ) (0.2) (0,1)
0.2
k
hf x y
f
1
2
0
0
(
,
) (0.2)(3(0.1) 0.8)
0.1
2
2
k
h
k
hf x
y
2
3
0
0
(
,
) (0.2)(3(0.1) 0.95)
0.13
2
2
k
h
k
hf x
y
4
0
0
3
(
,
) (0.2)(3(0.2) 0.87)
0.054
k
hf x
h y
k
1
(0.2)
(0)
0.2 2( 0.1) 2( 0.13) 0.054
0.881
6
y
y
07.08. Çok Adım Yöntemleri
Çok adımlı yöntemlerin çoğunda çözüme başlarken kullanılabilecek bazı bilgiler mevcuttur.
Bu bilgiler elde olduğuna göre, bu bilgileri kullanarak çok nokta kullanan bir yönteme
dönüştürülebilir. Bu yöntemlerin temel prensibi, geçmiş bağımlı değişken değeri(
y
) ve/veya
bağımlı değişken türev
( ')
y
değerleri kullanılarak bu değerlere eğri uydurup, bulunan
fonksiyonun entegralini alıp çözüme ulaşmayı hedeflemektir.
129
07.08.01. Adams Yöntemi
Bu yöntem, diğer yöntemlere göre çok daha fazla kullanılan ve kararsızlıkları olmayan bir
yöntem olarak bilinir.
İki Noktalı Adams Yöntemi :
'
( , )
y
f x y
diferansiyel denklemi verilsin.
1
i
x
ve
i
x
noktalarındaki
1
i
y
ve
i
y değerlerinin bilindiğini varsayalım. O halde verilen diferansiyel
denklemi integre edelim (
i
x ’den
1
i
x
’e).
1
1
1
1
1
1
'
( , )
( , )
(
)
( )
( , ( ))
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
x
x
x
x
x
i
i
x
x
x
x
x
y
f x y
dy
f x y dx
y x
y x
f x y x dx
0
1
( , ( ))
f x y x
a
a x
şeklinde kabul edilirse ;
1
1
0
1
(
)
( )
(
)
i
i
x
i
i
x
y x
y x
a
a x dx
1
i
x
h
,
0
i
x
,
1
i
x
h
alınırsa ;
2
1
0
1
(
)
( )
2
i
i
h
y x
y x
a h
a
elde edilir. Burada
0
a ve
1
a bilinmeyendir. Bunların bulunabilmesi için
0
1
( , ( ))
f x y x
a
a x
fonksiyonu
1
1
(
,
)
i
i
x
f
ve ( , )
i
i
x f noktalarından geçeceğine göre ;
0
1
i
i
f
a
a x
1
0
1
1
i
i
f
a
a x
ve
0
i
x
,
1
i
x
h
yazılırsa ;
0
i
a
f
ve
1
1
1
(
)
i
i
a
f
f
h
elde edilir. Bu değerleri denklemde yerine yazarsak;
1
1
(3
)
2
i
i
i
i
h
y
y
f
f
elde edilir.
Örnek.
'
y
x y
ve
(0) 2
y
başlangıç değer problemi veriliyor.
(0.1)
y
değerini Euler yöntemiyle
hesapladıktan sonra
(0.2)
y
değerini iki noktalı Adams kestirme yöntemini kullanarak
bulunuz.
1
0
0
0
( , )
y
y
hf x y
1
2 (0.1) (0, 2) 2 (0.1)2 2.2
y
f
2
1
1
0
(3
)
2
h
y
y
f
f
,
1
0.1 2.2 2.1
f
2
0.1
2.2
(3(2.1) 2) 2.415
2
y
130
Üç Noktalı Adams Yöntemi :
'
( , )
y
f x y
diferansiyel denklemi verilsin. Bu denklemi
kullanarak
1
1
(
)
( )
( , ( ))
i
i
x
i
i
x
y x
y x
f u y u du
ifadesini yazabiliriz. İntegral içerisindeki
polinom 2.dereceden bir polinom olarak alınırsa
2
0
1
2
( , )
f x y
a
a x a x
olacağından
1
2
1
0
1
2
(
)
( )
(
)
i
i
x
i
i
x
y x
y x
a
a u a u du
ve
0
i
x
,
1
i
x
h
alınırsa ;
2
3
2
1
0
1
2
0
1
2
(
)
( )
( )
(
)
2
3
2
3
i
i
i
h
h
h
h
y x
y x
a h a
a
y x
h a
a
a
elde edilir. Burada
0
a ,
1
a ve
2
a bilinmeyenlerdir. Bunların bulunabilmesi için
2
0
1
2
( , )
f x y
a
a x a x
fonksiyonunun ( , )
i
i
x f ,
1
1
(
,
)
i
i
x
f
,
2
2
(
,
)
i
i
x
f
noktalarından geçme
koşulu kullanılırsa ;
2
0
1
2
i
i
i
f
a
a x
a x
2
1
0
1
1
2
1
i
i
i
f
a
a x
a x
2
2
0
1
2
2
2
i
i
i
f
a
a x
a x
ve
0
i
x
,
1
i
x
h
,
2
2
i
x
h
yazılırsa;
0
i
f
a
2
1
0
1
2
i
f
a
a h a h
2
2
0
1
2
2
4
i
f
a
a h
a h
denklemlerinden;
1
2
1
(5
16
23 )
6
i
i
i
i
i
h
y
y
f
f
f
elde edilir.
Örnek.
2
'
y
y x
ve
(0)
1
y
başlangıç değer problemi veriliyor.
0.5
h
alarak çözüme ait iki
noktayı Euler formülü ile elde ettikten sonra
(1.5)
y
değerini üç nokta Adams kestirme
yöntemi ile bulunuz.
1
(0.5)
(0) (0.5) (0, 1)
1 (0.5)( 1)
1.5
y
y
y
f
2
(1)
(0.5) (0.5) (0.5, 1.5)
1.5 (0.5)( 1.25)
2.125
y
y
y
f
3
0.5
(1.5)
(1)
[5( 1) 16( 1.25) 23( 1.125)]
4.84375
6
y
y
y
131
Dört Noktalı Adams Yöntemi :
1
3
2
1
( 9
37
59
55 )
24
i
i
i
i
i
i
h
y
y
f
f
f
f
07.08.02. Adams-Bashforth-Moulton Yöntemi
Bu yöntemde kestirme yöntemlerinde bulunan formüllerin daha hassas sonuçlar verecek
şekilde düzeltilmesi imkanları üzerinde durulacaktır.
İki Noktalı Kestirme Düzeltme Formülleri :
Kestirme yöntemlerinde önceki iki noktanın bilinmesi halinde yeni bir noktanın
1
1
(3
)
2
i
i
i
i
h
y
y
f
f
formülü ile hesaplanabileceği ifade edilmişti. O halde mevcut iki yeni
noktadan geçen Lagrange Enterpolasyon formülü yazılabilir. Bu noktalar ( , )
i
i
x f ,
1
1
(
,
)
i
i
Dostları ilə paylaş: |