D
a
c k
a
c k
k
D
a
b
a
D
b
bulunur. Bunlar ise
1
1
2
1
2
2
2
2
2
2
1
3
2
1
1
2
1
1
2
2
2
2
2
2
.
c
b
b
c
D
b
D
b
k
k
D
a
b
D
a
b
a
D
b
a
D
b
2
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
3
2
1
1
2
1
1
2
2
2
2
2
2
.
D
a
c
D
a
a
c
a
k
k
D
a
b
D
a
b
a
D
b
a
D
b
şeklinde de ifade edilebilirler ki buradan açık olarak,
1
k ve
2
k parametrelerinin
3
k cinsinden ne
şekilde ifade edilmiş olduğu görülmektedir. Determinantların tamamı sabit değerlerden ibarettir
ki bu da ilişkilerdeki katsayıları oluşturacaktır.
3
k keyfi seçilerek, bu ilişki düzeni içinde
1
k ve
2
k değerleri
3
k parametresinin seçimine bağlı olarak değerlendirilmiş olur. Örneğin, keyfi bir
değer olarak
3
3
k
olursa, buna göre
1
1
2
2
,
k
k
değerlerini almış olsun. Öyleyse çözüm
takımı
2
2
2
3
2
1
3
2
2
3
2
3
(
)
;
(
)
;
(
)
D t
D t
D t
x
t
e
y
t
e
z
t
e
olarak belirlenecektir.
Çözüm takımlarının belirlenmesi, genel çözümün yazılabilmesini gerekli ve olanaklı kılar.
Buna göre
1
2
3
,
,
C C C keyfi sabitler olmak üzere ;
146
1
2
2
1
2
2
1
2
2
1 1
2
2
3
2
1
1 1
2 2
3
2
2
1 1
2 2
3
2
3
( )
(
)
( )
(
)
( )
(
)
D t
D t
D t
D t
D t
D t
D t
D t
D t
x t
C e
C
e
C
t
e
y t
C e
C
e
C
t
e
z t
C e
C
e
C
t
e
yazılabilecektir.
Çakışık kök olmasının daha genel hali
3
1
( ) (
)
0
F D
D D
olmasıdır. Sistemimiz
3
n
için düzenlendiğinden, burada bütün kökler için katlılık hali söz
konusudur. Bu durum da genel çözümün yazılabilmesi için, çözüm takımlarının ne şekilde
belirlenebileceğini tartışacağız.
1
D D
katlı
köklerin
ilki
olup,
1
( ) 0
F D
dır.
Bunun
için
sistem
1
1
1
1
2
1
2
2
3
3
1
3
(
)
0
(
)
0
(
)
0
D
a x b y c z
a x
D b y c z
a x b y
D
c z
olur. Bu önceden incelediğimiz türden bir sistem olup, aşikar çözümden başka çözümlerinin
bulunabilmesi koşulu, katsayılar determinantının sıfıra eşit olmasıdır. Bu sistemin ilk iki
denklemi
1
1
1
2
1
2
0
D
a
b
a
D
b
olması koşuluyla,
1
1
1
1
2
1
2
2
(
)
(
)
D
a x b y c z
a x
D b y c z
şeklinde düzenleyelim.
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
2
1
2
2
2
;
;
D
a
b
c
b
D
a c
a
D
b
c
D
b
a
c
olarak alınırsa, bunlardan ve sistemden
1
1
1
x
y
z
ilişkisi yazılabilecektir.
1
D D
için
1
D t
e
çarpan olarak kullanılacağından,
1
1
1
1
1
1
1
1
1
,
,
D t
D t
D t
x
e
y
e
z
e
çözüm takımı bu şekilde bulunacaktır.
1
D D
çakışık köklerin ikincisi olup bunun için de
1
( ) 0
F D
dır. Bu kez
1
1
1
, ,
önceki
çözüm takımında kullandığımız sabitler olmak üzere ;
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
3
(
)
;
(
)
;
(
)
D t
D t
D t
x
t k e
y
t k e
z
t k e
147
almak suretiyle düzenlenirse, uygulama açısından bazı kolaylıklar sağlanmış olacaktır. Burada
t lerin katsayısı olarak sırasıyla μ
1
,
1
, λ
1
sayılarının kullanıldığına dikkat edilmelidir. Bu
çalışmanın sonuçlarının ikinci çakışık kök için nasıl değerlendirildiğini bir önceki incelememiz
sırasında gördük; bu ayrıntıyı burada yinelemiyoruz. Yukarıdaki benzerinin aynı sonuçlarını
aynı yorumlarla alırsak, ikinci çözüm takımını
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
2
3
(
)
;
(
)
;
(
)
D t
D t
D t
x
t
e
y
t
e
z
t
e
şeklinde ifade etmiş oluruz.
1
D D
çakışık köklerin üçüncüsü ve bu modelimiz için sonuncusudur. Bunun için de
1
( ) 0
F D
dır. Bu kez öncekinden de farklı bir uygulamaya girme zorunluluğu ortaya
çıkacaktır. Bu kez çözüm takımını
2
2
2
, ,
x y z de olduğu şekilde de seçemeyiz.
1
2
3
,
,
m m m
hesaplanması gerekli parametreler olmak üzere, yeni çözüm takımı ;
1
1
1
2
2
2
3
1
1
1
3
1
2
2
3
1
3
3
(
)
;
(
)
;
(
)
D t
D t
D t
x
t
t m e
y
t
t m e
z
t
t m e
şeklinde seçilmelidir. Bu kez
1
D t
e
nin katsayıları t ye göre ikinci dereceden çok terimlilerdir ve
yine uygulamada bazı kolaylıklar sağlamak üzere t
2
ve t li terimlerin katsayıları, önceki çözüm
takımlarındaki katsayılar olarak alınmıştır.
Bunların türevleriyle sisteme gidilir ve gerekli sadeleştirmeler ve düzenlemeler yapılırsa,
1
1
1
1
2
1
3
1
1 1
1
1
2
1
3
2
1 1
1
2
1
1
3
3
(
)
(
)
(
)
D
a m
b m
c m
a m
D b m
c m
a m
b m
D
c m
olur. Burada
1
2
3
, ,
ile
1
2
3
,
,
m m m sayılarının ve
1
1
1
, ,
sayılarının orantılı ilişkiler içinde
oldukları anlaşılır. Bu sistemdeki bağıntıların, lineer bağımlı oluşlarının ortaya koyduğu
kaçınılmaz bir sonuçtur. Bu sistemin katsayılar determinantı
1
( ) 0
F D
dır. Yani m
1,
m
2,
m
3
sayıları
1
D D
için
, ,
x y z
ile orantılı ilişkiler içinde demektir ve bu da yukarıdaki açıklamanın
ışığında değerlendirilmelidir. Öyleyse
1
2
3
,
,
m m m parametreleri bu sistemden, bir lineer
bağımlılık ilişkisi içinde, tıpkı
1
2
3
, ,
k k k sabitlerinin hesaplanmasında olduğu gibi
hesaplanabilecektir.
3
3
3
, ,
x y z çözüm takımı da bu şekilde belirlenmiş olacaktır. Artık genel
çözüm yazılabilecektir.
Örnek.
2
3
2
2
dx
x
y z
dt
dy
x
y
z
dt
dz
y
dt
diferansiyel denklem sistemi, normal-homojen bir sistem olup, bunun
( )
( )
( ) 0
x t
y t
z t
aşikar çözümünden başka çözümleri bulunup bulunmadığını araştırmak istiyoruz.
148
d
D
dt
türev operatörü olmak üzere,
(
1)
2
0
(
3)
2
0
2
0
D
x
y z
x
D
y
z
y Dz
şeklinde düzenlenir.
2
(
1)
2
1
( )
1
3
2
(
2)(
1)
0
0
2
D
F D
D
D
D
D
olup buradan
1
2
3
2,
1
D
D
D
(iki katlı kök) bulunur.
1
2
D D
için :
1
( )
( )
(2) 0
F D
F D
F
dır.
Sistem
1
2
D
için :
2
0
2
0
2
2
0
x
y z
x y
z
y
z
şeklinde bir cebirsel sisteme dönüşür. Bu bağıntılar, aralarında lineer bağımlıdır. Bunlardan
x
y
z
ilişkisine varılır.
1
2
D
için
2t
e
çarpanı kullanılacağından,
2t
z e
alınırsa yukarıdaki ilişki
yardımıyla,
2
2
2
1
1
1
;
;
t
t
t
x
e
y
e
z
e
bulunur.
2
1
D D
için :
Bu çakışık (katlı) köklerin ilki olup bunun için
2
( )
(
)
(1) 0
F D
F D
F
dır. Bu kök için
uygulama basit kökte olduğu gibi yapılacaktır. Sistem,
2
0
2
0
2
0
y z
x y
z
y z
şeklini alır. Buradan, bağıntıların aralarında lineer bağımlı olmadıklarının bir sonucu olarak
2
x
y
z
ilişkisine varılır.
1
1
D
için
t
e
çarpanı kullanılacağından,
t
z
e
alınırsa,
149
2
2
2
1
;
;
2
t
t
t
x
e y
e z
e
bulunur.
3
1
D D
için :
Bu çakışık köklerin ikincisidir. Bunun için de
3
( )
(
)
(1) 0
F D
F D
F
dır. Bu kök için
hesaplar öncekinde olduğu gibi düzenlenemez. Bu kez,
2
2
2
, ,
x y z çözüm takımının katsayıları
kullanılarak, çözüm takımı
3
1
3
2
3
3
1
(
) ;
(
) ;
(
)
2
t
t
t
x
t k e y
t k e z
t k e
olarak seçilmelidir. Buradaki
1
2
3
, ,
k k k sabitler, sistemi sağlayacak şekilde hesaplanmalıdır.
Önerilen çözüm takımını sisteme uygulayalım:
1
2
3
1
2
3
2
3
1
(
1)(
)
2(
)
(
)
0
2
1
(
)
(
3)(
)
2(
)
0
2
1
2(
)
(
)
0
2
t
t
t
t
t
t
t
t
D
t k e
t k e
t k e
t k e
D
t k e
t k e
t k e
D t k e
Gerekli işlemler ve sadeleştirmelerden sonra,
2
3
1
2
3
2
3
2
1
1
2
2
2
2
1
k
k
k
k
k
k
k
sistemine varılır. Bu elde edilirken, katsayılar önceden uygun seçildiği için t li terimlerin
(katsayıları sıfır olduğu için) ortadan kalktığına dikkat edilmelidir. Bu sistem gerçekte
2
3
1
2
3
2
1
1
2
2
2
k
k
k
k
k
sisteminden ibarettir. Bunlardan,
3
k keyfi bilinmeyen seçilmek suretiyle
1
3
2
3
1
1 1
;
2
2 2
k
k k
k
ilişkisi yazılabilir.
3
k keyfi olarak 1 alınırsa ;
1
2
3
1
,
1,
1
2
k
k
k
bulunur. Bu değerler için çözüm takımı
3
3
3
1
1
(
) ;
(
1) ;
(
1)
2
2
t
t
t
x
t
e y
t
e z
t
e
150
olarak belirlenir.
Bu şekilde, her köke karşı gelen çözüm takımları belirlendiğine göre,
2
1
2
3
2
1
2
3
2
1
2
3
1
( )
(
)
2
1
1
( )
(
1)
2
2
( )
(
1)
t
t
t
t
t
t
t
t
t
x t
C e
C e
C t
e
y t
C e
C e
C
t
e
z t
C e
C e
C t
e
yazılır. İstenirse bu sonuç
2
1
2
3
3
2
1
2
3
3
2
1
2
3
3
1
( )
(
)
2
1
1
( )
(
)
2
2
( )
(
)
t
t
t
t
t
t
t
t
t
x t
C e
C
C e
C te
y t
C e
C
C e
C te
z t
C e
C
C e
C te
şeklinde de düzenlenebilir.
08.02.03. F(D)=0 Denkleminin Karmaşık Köklerinin Bulunması Hali:
Yine aynı model sistemi kullanarak konuyu incelemeye çalışalım. Bu amaçla normal-homojen
sistem olarak (2.14) sistemini göz önüne alalım. Ancak konuya yaklaşımımız operatörlerin
kullanılması olduğu için sistemin (8.1) ile verilen şekli üzerinde çalışalım. Bu sistemde, (8.2)
ile ifade edilen F(D)=0 denkleminin, D nin 3. dereceden bir cebirsel denklemi olarak olarak
belireceğini biliyoruz. Diyelim ki bu denklemin, bir reel kökü yanısıra diğer iki kökü kompleks
sayılardır. Bunların eşlenik kompleks kökler olması gerektiğini biliyoruz. Bu denklem, n.
dereceden bir cebirsel denklem olsaydı, herhalde farklı ya da katlı olmak üzere daha çok sayıda
kompleks köklerin varlığı da tasarlanabilirdi. Burada ortaya koyacağımız ilkeler, çözüm
aşamasında, daha genel uygulamalar için bir fikir vermeye yeterli olacaktır.
( ),
( ),
( )
x x t y
y t z
z t
olmak üzere,
1
1
1
2
2
2
3
3
3
(
)
0
(
)
0
(
)
0
D a x b y c z
a x
D
b y c z
a x b y
D
c z
sisteminin katsayılar determinantı Δ=F(D) ile gösterilirse
1
1
1
2
2
2
3
3
3
( ) 0
D a
b
c
a
D
b
c
F D
a
b
D
c
olması koşuluyla,
( )
( )
( ) 0
x t
y t
z t
aşikar çözümünden başkaca çözümlerinin varlığından
söz edilebilecektir.
F(D)=0 denklemi, köklerinden biri reel, diğer ikisi eşlenik kompleks kökler ise :
151
2
( ) (
)(
) 0
F D
D
D
D
şeklinde ifade edilebilir. Öyle ki burada
2
4
0
dır. Buradan kökler,
2
1
2,3
1
;
4
.
2
2
D
D
i
olarak belirlenir. Eğer
2
1
;
4
2
2
A
B
ile gösterilirse kompleks kökler
2,3
D
A iB
şeklinde ifade edilmiş olur.
Katlı kökler bulunmaması nedeniyle, uygulamaya konuluşunda, reel ya da kompleks kök
oluşuna bakılmaksızın, önceden uygulandığı tarzda bir yol izlenmesini gerekir.
1
D D
için,
1
( )
( ) 0
F D
F
olup, sistem bunun için düzenlenirse,
1
1
1
2
2
2
3
3
3
(
)
0
(
)
0
(
)
0
a x b y c z
a x
b y c z
a x b y
c z
olur. Bu bir cebirsel sistem olup, ancak katsayılar determinantı sıfıra eşit olduğundan, bir
Cramer sistemi değildir. Öyleyse bu sistemdeki bağıntılar aralarında lineer bağımlıdır. Bu
şekilde düşünülecek, keyfi seçilecek bağıntılar ve bilinmeyene göre sistem düzenlenerek,
, ,
x y z
arasındaki ilişki belirlendikten sonra, bu çözümde ℯ
λt
çarpanının da kullanılacağı ha-
tırlanarak, ilk çözüm takımı
1
1
1
, ,
x y z olarak bulunacaktır.
2,3
D
D
A iB
için de
2,3
(
)
(
) 0
F D
F A iB
dır.
Sistem bu kökler için düzenlenirse ;
1
1
1
2
2
2
3
3
3
[(
)
]
0
((
)
]
0
[(
)
]
0
A iB
a x b y c z
a x
A iB
b y c z
a x b y
A iB
c z
şeklini alır. Gerçekte bu (+) ve (-) sayılar için iki ayrı sistemi temsil etmektedir. Bu sistemdeki
bağıntılar da aralarında lineer bağımlıdır. Yine lineer cebirin kurallarına uygun hareket edersek,
buradan
, ,
x y z
arasındaki ilişkiler ayrı ayrı bulunur. Unutulmamalıdır ki bu ilişkilerden biri
(
)
A iB t
e
çarpanını; diğeri
(
)
A iB t
e
çarpanını kabul edecektir. Böylece bulunan çözüm takımları;
Dostları ilə paylaş: |